Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30736 / 22544
↖ ↑ ↗
← N 48.864715°
W 11.162109°		 ← 401.80 m → N 48.864715°
W 11.156616°		 →
↑
401.82 m
↓
↑
401.82 m
↓
N 48.861101°
W 11.162109°		 ← 401.83 m →
161 457 m²		 N 48.861101°
W 11.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469001770019531 y=0.344001770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469001770019531 × 216)
    floor (0.469001770019531 × 65536)
    floor (30736.5)     		tx = 30736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344001770019531 × 216)
    floor (0.344001770019531 × 65536)
    floor (22544.5)     		ty = 22544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30736 / 22544 ti = "16/30736/22544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30736/22544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30736 ÷ 216
    30736 ÷ 65536     		x = 0.468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22544 ÷ 216
    22544 ÷ 65536     		y = 0.343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468994140625 × 2 - 1) × π
    -0.06201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19481556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    0.31201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980213723430908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19481556} λ = -0.19481556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980213723430908))-π/2
    2×atan(2.66502575951641)-π/2
    2×1.2118232437089-π/2
    2.4236464874178-1.57079632675     		φ = 0.85285016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19481556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85285016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.864715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30736 KachelY 22544 -0.19481556 0.85285016 -11.162109 48.864715
    Oben rechts KachelX + 1 30737 KachelY 22544 -0.19471969 0.85285016 -11.156616 48.864715
    Unten links KachelX 30736 KachelY + 1 22545 -0.19481556 0.85278709 -11.162109 48.861101
    Unten rechts KachelX + 1 30737 KachelY + 1 22545 -0.19471969 0.85278709 -11.156616 48.861101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85285016-0.85278709) × R
    6.30700000000539e-05 × 6371000     		dl = 401.818970000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85285016-0.85278709) × R
    6.30700000000539e-05 × 6371000     		dr = 401.818970000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19481556--0.19471969) × cos(0.85285016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657839198768838 × 6371000     		do = 401.800137234596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19481556--0.19471969) × cos(0.85278709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657886699161257 × 6371000     		du = 401.829149893356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85285016)-sin(0.85278709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657839198768838-0.657886699161257)×R²
    abs(-0.19471969--0.19481556)×4.75003924192974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75003924192974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75003924192974e-05×40589641000000     		ar = 161456.746261471m²