Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31743 / 23551
↖ ↑ ↗
← N 45.092914°
W  5.630493°		 ← 431.19 m → N 45.092914°
W  5.625000°		 →
↑
431.19 m
↓
↑
431.19 m
↓
N 45.089036°
W  5.630493°		 ← 431.22 m →
185 931 m²		 N 45.089036°
W  5.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484367370605469 y=0.359367370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484367370605469 × 216)
    floor (0.484367370605469 × 65536)
    floor (31743.5)     		tx = 31743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359367370605469 × 216)
    floor (0.359367370605469 × 65536)
    floor (23551.5)     		ty = 23551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31743 / 23551 ti = "16/31743/23551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31743/23551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31743 ÷ 216
    31743 ÷ 65536     		x = 0.484359741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23551 ÷ 216
    23551 ÷ 65536     		y = 0.359359741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484359741210938 × 2 - 1) × π
    -0.031280517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09827064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359359741210938 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883668807596115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09827064} λ = -0.09827064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883668807596115))-π/2
    2×atan(2.41976107896944)-π/2
    2×1.17890806960907-π/2
    2.35781613921814-1.57079632675     		φ = 0.78701981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09827064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.630493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78701981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.092914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31743 KachelY 23551 -0.09827064 0.78701981 -5.630493 45.092914
    Oben rechts KachelX + 1 31744 KachelY 23551 -0.09817477 0.78701981 -5.625000 45.092914
    Unten links KachelX 31743 KachelY + 1 23552 -0.09827064 0.78695213 -5.630493 45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 31744 KachelY + 1 23552 -0.09817477 0.78695213 -5.625000 45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78701981-0.78695213) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dl = 431.189280000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78701981-0.78695213) × R
    6.76800000000144e-05 × 6371000     		dr = 431.189280000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09827064--0.09817477) × cos(0.78701981) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.705959174627294 × 6371000     		do = 431.191229981698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09827064--0.09817477) × cos(0.78695213) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 431.220506819486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78701981)-sin(0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705959174627294-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.09817477--0.09827064)×4.79329142226703e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.79329142226703e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.79329142226703e-05×40589641000000     		ar = 185931.347998332m²