Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31746 / 19458
↖ ↑ ↗
← N 58.808052°
W  5.614014°		 ← 316.33 m → N 58.808052°
W  5.608521°		 →
↑
316.38 m
↓
↑
316.38 m
↓
N 58.805207°
W  5.614014°		 ← 316.36 m →
100 086 m²		 N 58.805207°
W  5.608521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484413146972656 y=0.296913146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484413146972656 × 216)
    floor (0.484413146972656 × 65536)
    floor (31746.5)     		tx = 31746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296913146972656 × 216)
    floor (0.296913146972656 × 65536)
    floor (19458.5)     		ty = 19458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31746 / 19458 ti = "16/31746/19458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31746/19458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31746 ÷ 216
    31746 ÷ 65536     		x = 0.484405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19458 ÷ 216
    19458 ÷ 65536     		y = 0.296905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.03118896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09798302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296905517578125 × 2 - 1) × π
    0.40618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27608026788589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09798302} λ = -0.09798302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27608026788589))-π/2
    2×atan(3.58256945519441)-π/2
    2×1.29859523294665-π/2
    2.5971904658933-1.57079632675     		φ = 1.02639414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09798302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.614014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02639414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.808052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31746 KachelY 19458 -0.09798302 1.02639414 -5.614014 58.808052
    Oben rechts KachelX + 1 31747 KachelY 19458 -0.09788715 1.02639414 -5.608521 58.808052
    Unten links KachelX 31746 KachelY + 1 19459 -0.09798302 1.02634448 -5.614014 58.805207
    Unten rechts KachelX + 1 31747 KachelY + 1 19459 -0.09788715 1.02634448 -5.608521 58.805207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02639414-1.02634448) × R
    4.96600000001735e-05 × 6371000     		dl = 316.383860001105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02639414-1.02634448) × R
    4.96600000001735e-05 × 6371000     		dr = 316.383860001105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09798302--0.09788715) × cos(1.02639414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517906791512205 × 6371000     		do = 316.331134255587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09798302--0.09788715) × cos(1.02634448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517949271877737 × 6371000     		du = 316.35708074332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02639414)-sin(1.02634448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517906791512205-0.517949271877737)×R²
    abs(-0.09788715--0.09798302)×4.2480365532005e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2480365532005e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2480365532005e-05×40589641000000     		ar = 100086.169839648m²