Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 320 / 832
↖ ↑ ↗
← S 74.019543°
W 67.500000°		 ← 10.762 km → S 74.019543°
W 67.148437°		 →
↑
10.731 km
↓
↑
10.731 km
↓
S 74.116047°
W 67.500000°		 ← 10.699 km →
115.149 km²		 S 74.116047°
W 67.148437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.31298828125 y=0.81298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.31298828125 × 210)
    floor (0.31298828125 × 1024)
    floor (320.5)     		tx = 320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.81298828125 × 210)
    floor (0.81298828125 × 1024)
    floor (832.5)     		ty = 832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 320 / 832 ti = "10/320/832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/320/832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 320 ÷ 210
    320 ÷ 1024     		x = 0.3125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 832 ÷ 210
    832 ÷ 1024     		y = 0.8125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3125 × 2 - 1) × π
    -0.375 × 3.1415926535     		Λ = -1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8125 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Φ = -1.9634954084375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.17809725} λ = -1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9634954084375))-π/2
    2×atan(0.140366922701998)-π/2
    2×0.139455792601043-π/2
    0.278911585202086-1.57079632675     		φ = -1.29188474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.29188474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -74.019543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 320 KachelY 832 -1.17809725 -1.29188474 -67.500000 -74.019543
    Oben rechts KachelX + 1 321 KachelY 832 -1.17196132 -1.29188474 -67.148437 -74.019543
    Unten links KachelX 320 KachelY + 1 833 -1.17809725 -1.29356905 -67.500000 -74.116047
    Unten rechts KachelX + 1 321 KachelY + 1 833 -1.17196132 -1.29356905 -67.148437 -74.116047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.29188474--1.29356905) × R
    0.00168431000000013 × 6371000     		dl = 10730.7390100008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.29188474--1.29356905) × R
    0.00168431000000013 × 6371000     		dr = 10730.7390100008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.17809725--1.17196132) × cos(-1.29188474) × R
    0.0061359299999999 × 0.275309459649329 × 6371000     		do = 10762.4001579653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.17809725--1.17196132) × cos(-1.29356905) × R
    0.0061359299999999 × 0.273689848953736 × 6371000     		du = 10699.0863204085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.29188474)-sin(-1.29356905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275309459649329-0.273689848953736)×R²
    abs(-1.17196132--1.17809725)×0.00161961069559335×R²
    0.0061359299999999×0.00161961069559335×6371000²
    0.0061359299999999×0.00161961069559335×40589641000000     		ar = 115148832.305179m²