Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33983 / 21887
↖ ↑ ↗
← N 51.182786°
E  6.674195°		 ← 382.86 m → N 51.182786°
E  6.679688°		 →
↑
382.90 m
↓
↑
382.90 m
↓
N 51.179343°
E  6.674195°		 ← 382.89 m →
146 603 m²		 N 51.179343°
E  6.679688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518547058105469 y=0.333976745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518547058105469 × 216)
    floor (0.518547058105469 × 65536)
    floor (33983.5)     		tx = 33983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333976745605469 × 216)
    floor (0.333976745605469 × 65536)
    floor (21887.5)     		ty = 21887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33983 / 21887 ti = "16/33983/21887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33983/21887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33983 ÷ 216
    33983 ÷ 65536     		x = 0.518539428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21887 ÷ 216
    21887 ÷ 65536     		y = 0.333969116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518539428710938 × 2 - 1) × π
    0.037078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11648667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333969116210938 × 2 - 1) × π
    0.332061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04320280953166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11648667} λ = 0.11648667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04320280953166))-π/2
    2×atan(2.83829298411507)-π/2
    2×1.23205223517501-π/2
    2.46410447035002-1.57079632675     		φ = 0.89330814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11648667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.674195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89330814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.182786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33983 KachelY 21887 0.11648667 0.89330814 6.674195 51.182786
    Oben rechts KachelX + 1 33984 KachelY 21887 0.11658254 0.89330814 6.679688 51.182786
    Unten links KachelX 33983 KachelY + 1 21888 0.11648667 0.89324804 6.674195 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 33984 KachelY + 1 21888 0.11658254 0.89324804 6.679688 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89330814-0.89324804) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dl = 382.897100000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89330814-0.89324804) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dr = 382.897100000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11648667-0.11658254) × cos(0.89330814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		do = 382.864938397696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11648667-0.11658254) × cos(0.89324804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 382.893539001274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89330814)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626837925058167-0.626884750821521)×R²
    abs(0.11658254-0.11648667)×4.68257633536862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68257633536862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68257633536862e-05×40589641000000     		ar = 146603.350192457m²