Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33992 / 21864
↖ ↑ ↗
← N 51.261915°
E  6.723633°		 ← 382.21 m → N 51.261915°
E  6.729126°		 →
↑
382.26 m
↓
↑
382.26 m
↓
N 51.258477°
E  6.723633°		 ← 382.24 m →
146 108 m²		 N 51.258477°
E  6.729126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518684387207031 y=0.333625793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518684387207031 × 216)
    floor (0.518684387207031 × 65536)
    floor (33992.5)     		tx = 33992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333625793457031 × 216)
    floor (0.333625793457031 × 65536)
    floor (21864.5)     		ty = 21864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33992 / 21864 ti = "16/33992/21864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33992/21864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33992 ÷ 216
    33992 ÷ 65536     		x = 0.5186767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21864 ÷ 216
    21864 ÷ 65536     		y = 0.3336181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5186767578125 × 2 - 1) × π
    0.037353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11734953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3336181640625 × 2 - 1) × π
    0.332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04540790691418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11734953} λ = 0.11734953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04540790691418))-π/2
    2×atan(2.84455860215528)-π/2
    2×1.23274276091975-π/2
    2.46548552183951-1.57079632675     		φ = 0.89468920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11734953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89468920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.261915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33992 KachelY 21864 0.11734953 0.89468920 6.723633 51.261915
    Oben rechts KachelX + 1 33993 KachelY 21864 0.11744540 0.89468920 6.729126 51.261915
    Unten links KachelX 33992 KachelY + 1 21865 0.11734953 0.89462920 6.723633 51.258477
    Unten rechts KachelX + 1 33993 KachelY + 1 21865 0.11744540 0.89462920 6.729126 51.258477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89468920-0.89462920) × R
    5.9999999999949e-05 × 6371000     		dl = 382.259999999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89468920-0.89462920) × R
    5.9999999999949e-05 × 6371000     		dr = 382.259999999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11734953-0.11744540) × cos(0.89468920) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.625761275158112 × 6371000     		do = 382.207333806227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11734953-0.11744540) × cos(0.89462920) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.625808074909648 × 6371000     		du = 382.235918522104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89468920)-sin(0.89462920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625761275158112-0.625808074909648)×R²
    abs(0.11744540-0.11734953)×4.67997515362084e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.67997515362084e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.67997515362084e-05×40589641000000     		ar = 146108.038861317m²