Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 34 / 98
↖ ↑ ↗
← S 68.656555°
W 84.375000°		 ← 113.823 km → S 68.656555°
W 81.562500°		 →
↑
111.254 km
↓
↑
111.254 km
↓
S 69.657086°
W 84.375000°		 ← 108.719 km →
12 379.6 km²		 S 69.657086°
W 81.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.26953125 y=0.76953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.26953125 × 27)
    floor (0.26953125 × 128)
    floor (34.5)     		tx = 34
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76953125 × 27)
    floor (0.76953125 × 128)
    floor (98.5)     		ty = 98
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 34 / 98 ti = "7/34/98"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/34/98.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34 ÷ 27
    34 ÷ 128     		x = 0.265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98 ÷ 27
    98 ÷ 128     		y = 0.765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265625 × 2 - 1) × π
    -0.46875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47262156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765625 × 2 - 1) × π
    -0.53125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66897109717187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47262156} λ = -1.47262156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66897109717187))-π/2
    2×atan(0.188440853254186)-π/2
    2×0.186256694625859-π/2
    0.372513389251717-1.57079632675     		φ = -1.19828294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47262156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19828294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.656555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34 KachelY 98 -1.47262156 -1.19828294 -84.375000 -68.656555
    Oben rechts KachelX + 1 35 KachelY 98 -1.42353417 -1.19828294 -81.562500 -68.656555
    Unten links KachelX 34 KachelY + 1 99 -1.47262156 -1.21574550 -84.375000 -69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 35 KachelY + 1 99 -1.42353417 -1.21574550 -81.562500 -69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19828294--1.21574550) × R
    0.01746256 × 6371000     		dl = 111253.96976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19828294--1.21574550) × R
    0.01746256 × 6371000     		dr = 111253.96976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47262156--1.42353417) × cos(-1.19828294) × R
    0.0490873900000002 × 0.363957586554578 × 6371000     		do = 113822.553054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47262156--1.42353417) × cos(-1.21574550) × R
    0.0490873900000002 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 108718.841712834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19828294)-sin(-1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363957586554578-0.347638022352561)×R²
    abs(-1.42353417--1.47262156)×0.0163195642020172×R²
    0.0490873900000002×0.0163195642020172×6371000²
    0.0490873900000002×0.0163195642020172×40589641000000     		ar = 12379621391.3134m²