Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34015 / 21983
↖ ↑ ↗
← N 50.851041°
E  6.849976°		 ← 385.61 m → N 50.851041°
E  6.855469°		 →
↑
385.70 m
↓
↑
385.70 m
↓
N 50.847573°
E  6.849976°		 ← 385.64 m →
148 737 m²		 N 50.847573°
E  6.855469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519035339355469 y=0.335441589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519035339355469 × 216)
    floor (0.519035339355469 × 65536)
    floor (34015.5)     		tx = 34015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335441589355469 × 216)
    floor (0.335441589355469 × 65536)
    floor (21983.5)     		ty = 21983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34015 / 21983 ti = "16/34015/21983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34015/21983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34015 ÷ 216
    34015 ÷ 65536     		x = 0.519027709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21983 ÷ 216
    21983 ÷ 65536     		y = 0.335433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519027709960938 × 2 - 1) × π
    0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335433959960938 × 2 - 1) × π
    0.329132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03399892480461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11955463} λ = 0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03399892480461))-π/2
    2×atan(2.81228951271015)-π/2
    2×1.22915721127793-π/2
    2.45831442255585-1.57079632675     		φ = 0.88751810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88751810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.851041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34015 KachelY 21983 0.11955463 0.88751810 6.849976 50.851041
    Oben rechts KachelX + 1 34016 KachelY 21983 0.11965050 0.88751810 6.855469 50.851041
    Unten links KachelX 34015 KachelY + 1 21984 0.11955463 0.88745756 6.849976 50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 34016 KachelY + 1 21984 0.11965050 0.88745756 6.855469 50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88751810-0.88745756) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dl = 385.700339999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88751810-0.88745756) × R
    6.05399999999978e-05 × 6371000     		dr = 385.700339999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11955463-0.11965050) × cos(0.88751810) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		do = 385.613956950447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11955463-0.11965050) × cos(0.88745756) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 385.642632245211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88751810)-sin(0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631338700430101-0.6313856484801)×R²
    abs(0.11965050-0.11955463)×4.69480499984964e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.69480499984964e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.69480499984964e-05×40589641000000     		ar = 148736.964385228m²