Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34024 / 21880
↖ ↑ ↗
← N 51.206883°
E  6.899414°		 ← 382.70 m → N 51.206883°
E  6.904907°		 →
↑
382.64 m
↓
↑
382.64 m
↓
N 51.203442°
E  6.899414°		 ← 382.73 m →
146 444 m²		 N 51.203442°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519172668457031 y=0.333869934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519172668457031 × 216)
    floor (0.519172668457031 × 65536)
    floor (34024.5)     		tx = 34024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333869934082031 × 216)
    floor (0.333869934082031 × 65536)
    floor (21880.5)     		ty = 21880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34024 / 21880 ti = "16/34024/21880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34024/21880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34024 ÷ 216
    34024 ÷ 65536     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21880 ÷ 216
    21880 ÷ 65536     		y = 0.3338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3338623046875 × 2 - 1) × π
    0.332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04387392612634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04387392612634))-π/2
    2×atan(2.84019844896029)-π/2
    2×1.23226252085071-π/2
    2.46452504170142-1.57079632675     		φ = 0.89372871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89372871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.206883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34024 KachelY 21880 0.12041749 0.89372871 6.899414 51.206883
    Oben rechts KachelX + 1 34025 KachelY 21880 0.12051337 0.89372871 6.904907 51.206883
    Unten links KachelX 34024 KachelY + 1 21881 0.12041749 0.89366865 6.899414 51.203442
    Unten rechts KachelX + 1 34025 KachelY + 1 21881 0.12051337 0.89366865 6.904907 51.203442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89372871-0.89366865) × R
    6.00600000000284e-05 × 6371000     		dl = 382.642260000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89372871-0.89366865) × R
    6.00600000000284e-05 × 6371000     		dr = 382.642260000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.89372871) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626510182651834 × 6371000     		do = 382.704672307914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.89366865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626556993080731 × 6371000     		du = 382.733266527685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89372871)-sin(0.89366865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626510182651834-0.626556993080731)×R²
    abs(0.12051337-0.12041749)×4.68104288965376e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68104288965376e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68104288965376e-05×40589641000000     		ar = 146444.45144701m²