Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34024 / 21912
↖ ↑ ↗
← N 51.096623°
E  6.899414°		 ← 383.62 m → N 51.096623°
E  6.904907°		 →
↑
383.60 m
↓
↑
383.60 m
↓
N 51.093173°
E  6.899414°		 ← 383.65 m →
147 161 m²		 N 51.093173°
E  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519172668457031 y=0.334358215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519172668457031 × 216)
    floor (0.519172668457031 × 65536)
    floor (34024.5)     		tx = 34024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334358215332031 × 216)
    floor (0.334358215332031 × 65536)
    floor (21912.5)     		ty = 21912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34024 / 21912 ti = "16/34024/21912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34024/21912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34024 ÷ 216
    34024 ÷ 65536     		x = 0.5191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21912 ÷ 216
    21912 ÷ 65536     		y = 0.3343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5191650390625 × 2 - 1) × π
    0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3343505859375 × 2 - 1) × π
    0.331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04080596455066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12041749} λ = 0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04080596455066))-π/2
    2×atan(2.83149818211794)-π/2
    2×1.23130031690853-π/2
    2.46260063381707-1.57079632675     		φ = 0.89180431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89180431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.096623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34024 KachelY 21912 0.12041749 0.89180431 6.899414 51.096623
    Oben rechts KachelX + 1 34025 KachelY 21912 0.12051337 0.89180431 6.904907 51.096623
    Unten links KachelX 34024 KachelY + 1 21913 0.12041749 0.89174410 6.899414 51.093173
    Unten rechts KachelX + 1 34025 KachelY + 1 21913 0.12051337 0.89174410 6.904907 51.093173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89180431-0.89174410) × R
    6.0210000000005e-05 × 6371000     		dl = 383.597910000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89180431-0.89174410) × R
    6.0210000000005e-05 × 6371000     		dr = 383.597910000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.89180431) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.628008924473639 × 6371000     		do = 383.620180967901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12041749-0.12051337) × cos(0.89174410) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.628055779126743 × 6371000     		du = 383.648802202095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89180431)-sin(0.89174410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628008924473639-0.628055779126743)×R²
    abs(0.12051337-0.12041749)×4.68546531035008e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68546531035008e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68546531035008e-05×40589641000000     		ar = 147161.389220506m²