Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34034 / 21938
↖ ↑ ↗
← N 51.006842°
E  6.954346°		 ← 384.32 m → N 51.006842°
E  6.959839°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
N 51.003386°
E  6.954346°		 ← 384.35 m →
147 725 m²		 N 51.003386°
E  6.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519325256347656 y=0.334754943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519325256347656 × 216)
    floor (0.519325256347656 × 65536)
    floor (34034.5)     		tx = 34034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334754943847656 × 216)
    floor (0.334754943847656 × 65536)
    floor (21938.5)     		ty = 21938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34034 / 21938 ti = "16/34034/21938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34034/21938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34034 ÷ 216
    34034 ÷ 65536     		x = 0.519317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21938 ÷ 216
    21938 ÷ 65536     		y = 0.334747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519317626953125 × 2 - 1) × π
    0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334747314453125 × 2 - 1) × π
    0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12137623} λ = 0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03831324577042))-π/2
    2×atan(2.82444884308323)-π/2
    2×1.23051683273088-π/2
    2.46103366546176-1.57079632675     		φ = 0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34034 KachelY 21938 0.12137623 0.89023734 6.954346 51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 34035 KachelY 21938 0.12147210 0.89023734 6.959839 51.006842
    Unten links KachelX 34034 KachelY + 1 21939 0.12137623 0.89017701 6.954346 51.003386
    Unten rechts KachelX + 1 34035 KachelY + 1 21939 0.12147210 0.89017701 6.959839 51.003386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89023734-0.89017701) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dl = 384.362429999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89023734-0.89017701) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dr = 384.362429999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12137623-0.12147210) × cos(0.89023734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 384.324509579647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12137623-0.12147210) × cos(0.89017701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		du = 384.353148565799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89023734)-sin(0.89017701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629274467243847)×R²
    abs(0.12147210-0.12137623)×4.68886044525663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68886044525663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68886044525663e-05×40589641000000     		ar = 147725.406330289m²