Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34040 / 21881
↖ ↑ ↗
← N 51.203442°
E  6.987305°		 ← 382.73 m → N 51.203442°
E  6.992798°		 →
↑
382.77 m
↓
↑
382.77 m
↓
N 51.200000°
E  6.987305°		 ← 382.76 m →
146 504 m²		 N 51.200000°
E  6.992798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519416809082031 y=0.333885192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519416809082031 × 216)
    floor (0.519416809082031 × 65536)
    floor (34040.5)     		tx = 34040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333885192871094 × 216)
    floor (0.333885192871094 × 65536)
    floor (21881.5)     		ty = 21881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34040 / 21881 ti = "16/34040/21881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34040/21881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34040 ÷ 216
    34040 ÷ 65536     		x = 0.5194091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21881 ÷ 216
    21881 ÷ 65536     		y = 0.333877563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5194091796875 × 2 - 1) × π
    0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333877563476562 × 2 - 1) × π
    0.332244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0437780523271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12195147} λ = 0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0437780523271))-π/2
    2×atan(2.83992616139723)-π/2
    2×1.23223248677304-π/2
    2.46446497354607-1.57079632675     		φ = 0.89366865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89366865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.203442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34040 KachelY 21881 0.12195147 0.89366865 6.987305 51.203442
    Oben rechts KachelX + 1 34041 KachelY 21881 0.12204735 0.89366865 6.992798 51.203442
    Unten links KachelX 34040 KachelY + 1 21882 0.12195147 0.89360857 6.987305 51.200000
    Unten rechts KachelX + 1 34041 KachelY + 1 21882 0.12204735 0.89360857 6.992798 51.200000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89366865-0.89360857) × R
    6.00799999999069e-05 × 6371000     		dl = 382.769679999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89366865-0.89360857) × R
    6.00799999999069e-05 × 6371000     		dr = 382.769679999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12195147-0.12204735) × cos(0.89366865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626556993080731 × 6371000     		do = 382.733266527685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12195147-0.12204735) × cos(0.89360857) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626603816836268 × 6371000     		du = 382.761868888054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89366865)-sin(0.89360857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626556993080731-0.626603816836268)×R²
    abs(0.12204735-0.12195147)×4.68237555369955e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68237555369955e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68237555369955e-05×40589641000000     		ar = 146504.164055882m²