Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34041 / 21879
↖ ↑ ↗
← N 51.210325°
E  6.992798°		 ← 382.64 m → N 51.210325°
E  6.998291°		 →
↑
382.71 m
↓
↑
382.71 m
↓
N 51.206883°
E  6.992798°		 ← 382.66 m →
146 443 m²		 N 51.206883°
E  6.998291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519432067871094 y=0.333854675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519432067871094 × 216)
    floor (0.519432067871094 × 65536)
    floor (34041.5)     		tx = 34041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333854675292969 × 216)
    floor (0.333854675292969 × 65536)
    floor (21879.5)     		ty = 21879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34041 / 21879 ti = "16/34041/21879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34041/21879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34041 ÷ 216
    34041 ÷ 65536     		x = 0.519424438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21879 ÷ 216
    21879 ÷ 65536     		y = 0.333847045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519424438476562 × 2 - 1) × π
    0.038848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12204735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333847045898438 × 2 - 1) × π
    0.332305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04396979992558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12204735} λ = 0.12204735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04396979992558))-π/2
    2×atan(2.84047076262986)-π/2
    2×1.23229255268416-π/2
    2.46458510536833-1.57079632675     		φ = 0.89378878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12204735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.992798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89378878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.210325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34041 KachelY 21879 0.12204735 0.89378878 6.992798 51.210325
    Oben rechts KachelX + 1 34042 KachelY 21879 0.12214322 0.89378878 6.998291 51.210325
    Unten links KachelX 34041 KachelY + 1 21880 0.12204735 0.89372871 6.992798 51.206883
    Unten rechts KachelX + 1 34042 KachelY + 1 21880 0.12214322 0.89372871 6.998291 51.206883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89378878-0.89372871) × R
    6.00699999999676e-05 × 6371000     		dl = 382.705969999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89378878-0.89372871) × R
    6.00699999999676e-05 × 6371000     		dr = 382.705969999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(0.89378878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626463362168479 × 6371000     		do = 382.636159965579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12204735-0.12214322) × cos(0.89372871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626510182651834 × 6371000     		du = 382.664757344198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89378878)-sin(0.89372871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626463362168479-0.626510182651834)×R²
    abs(0.12214322-0.12204735)×4.68204833549146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68204833549146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68204833549146e-05×40589641000000     		ar = 146442.614994643m²