Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34080 / 21856
↖ ↑ ↗
← N 51.289406°
E  7.207031°		 ← 382.02 m → N 51.289406°
E  7.212525°		 →
↑
382.01 m
↓
↑
382.01 m
↓
N 51.285970°
E  7.207031°		 ← 382.05 m →
145 939 m²		 N 51.285970°
E  7.212525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520027160644531 y=0.333503723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520027160644531 × 216)
    floor (0.520027160644531 × 65536)
    floor (34080.5)     		tx = 34080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333503723144531 × 216)
    floor (0.333503723144531 × 65536)
    floor (21856.5)     		ty = 21856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34080 / 21856 ti = "16/34080/21856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34080/21856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34080 ÷ 216
    34080 ÷ 65536     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21856 ÷ 216
    21856 ÷ 65536     		y = 0.33349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33349609375 × 2 - 1) × π
    0.3330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04617489730811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04617489730811))-π/2
    2×atan(2.84674118818235)-π/2
    2×1.23298266558521-π/2
    2.46596533117042-1.57079632675     		φ = 0.89516900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89516900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.289406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34080 KachelY 21856 0.12578642 0.89516900 7.207031 51.289406
    Oben rechts KachelX + 1 34081 KachelY 21856 0.12588230 0.89516900 7.212525 51.289406
    Unten links KachelX 34080 KachelY + 1 21857 0.12578642 0.89510904 7.207031 51.285970
    Unten rechts KachelX + 1 34081 KachelY + 1 21857 0.12588230 0.89510904 7.212525 51.285970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89516900-0.89510904) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dl = 382.005159999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89516900-0.89510904) × R
    5.995999999997e-05 × 6371000     		dr = 382.005159999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12588230) × cos(0.89516900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625386952124284 × 6371000     		do = 382.018545277779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12588230) × cos(0.89510904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625433738674432 × 6371000     		du = 382.04712491118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89516900)-sin(0.89510904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625386952124284-0.625433738674432)×R²
    abs(0.12588230-0.12578642)×4.67865501471154e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67865501471154e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67865501471154e-05×40589641000000     		ar = 145938.514338976m²