Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34108 / 21836
↖ ↑ ↗
← N 51.358061°
E  7.360840°		 ← 381.41 m → N 51.358061°
E  7.366333°		 →
↑
381.43 m
↓
↑
381.43 m
↓
N 51.354631°
E  7.360840°		 ← 381.44 m →
145 486 m²		 N 51.354631°
E  7.366333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520454406738281 y=0.333198547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520454406738281 × 216)
    floor (0.520454406738281 × 65536)
    floor (34108.5)     		tx = 34108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333198547363281 × 216)
    floor (0.333198547363281 × 65536)
    floor (21836.5)     		ty = 21836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34108 / 21836 ti = "16/34108/21836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34108/21836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34108 ÷ 216
    34108 ÷ 65536     		x = 0.52044677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21836 ÷ 216
    21836 ÷ 65536     		y = 0.33319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52044677734375 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12847089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33319091796875 × 2 - 1) × π
    0.3336181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04809237329291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12847089} λ = 0.12847089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04809237329291))-π/2
    2×atan(2.85220498271897)-π/2
    2×1.23358179933518-π/2
    2.46716359867035-1.57079632675     		φ = 0.89636727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12847089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.360840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89636727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.358061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34108 KachelY 21836 0.12847089 0.89636727 7.360840 51.358061
    Oben rechts KachelX + 1 34109 KachelY 21836 0.12856676 0.89636727 7.366333 51.358061
    Unten links KachelX 34108 KachelY + 1 21837 0.12847089 0.89630740 7.360840 51.354631
    Unten rechts KachelX + 1 34109 KachelY + 1 21837 0.12856676 0.89630740 7.366333 51.354631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89636727-0.89630740) × R
    5.98700000000729e-05 × 6371000     		dl = 381.431770000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89636727-0.89630740) × R
    5.98700000000729e-05 × 6371000     		dr = 381.431770000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12847089-0.12856676) × cos(0.89636727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624451475572185 × 6371000     		do = 381.407324237936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12847089-0.12856676) × cos(0.89630740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624498236731026 × 6371000     		du = 381.435885381867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89636727)-sin(0.89630740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624451475572185-0.624498236731026)×R²
    abs(0.12856676-0.12847089)×4.67611588409467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67611588409467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67611588409467e-05×40589641000000     		ar = 145486.317882372m²