Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34112 / 21824
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  7.382813°		 ← 381.06 m → N 51.399206°
E  7.388306°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
N 51.395778°
E  7.382813°		 ← 381.09 m →
145 234 m²		 N 51.395778°
E  7.388306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520515441894531 y=0.333015441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520515441894531 × 216)
    floor (0.520515441894531 × 65536)
    floor (34112.5)     		tx = 34112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333015441894531 × 216)
    floor (0.333015441894531 × 65536)
    floor (21824.5)     		ty = 21824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34112 / 21824 ti = "16/34112/21824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34112/21824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34112 ÷ 216
    34112 ÷ 65536     		x = 0.5205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21824 ÷ 216
    21824 ÷ 65536     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5205078125 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12885439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12885439} λ = 0.12885439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12885439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.382813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34112 KachelY 21824 0.12885439 0.89708537 7.382813 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 34113 KachelY 21824 0.12895026 0.89708537 7.388306 51.399206
    Unten links KachelX 34112 KachelY + 1 21825 0.12885439 0.89702555 7.382813 51.395778
    Unten rechts KachelX + 1 34113 KachelY + 1 21825 0.12895026 0.89702555 7.388306 51.395778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89702555) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dl = 381.113220000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89702555) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dr = 381.113220000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12885439-0.12895026) × cos(0.89708537) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 381.06464619936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12885439-0.12895026) × cos(0.89702555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623937181762015 × 6371000     		du = 381.093199868497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89702555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.623937181762015)×R²
    abs(0.12895026-0.12885439)×4.67489208848537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67489208848537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67489208848537e-05×40589641000000     		ar = 145234.215474997m²