Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34113 / 21825
↖ ↑ ↗
← N 51.395778°
E  7.388306°		 ← 381.09 m → N 51.395778°
E  7.393799°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
N 51.392351°
E  7.388306°		 ← 381.12 m →
145 245 m²		 N 51.392351°
E  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520530700683594 y=0.333030700683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520530700683594 × 216)
    floor (0.520530700683594 × 65536)
    floor (34113.5)     		tx = 34113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333030700683594 × 216)
    floor (0.333030700683594 × 65536)
    floor (21825.5)     		ty = 21825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34113 / 21825 ti = "16/34113/21825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34113/21825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34113 ÷ 216
    34113 ÷ 65536     		x = 0.520523071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21825 ÷ 216
    21825 ÷ 65536     		y = 0.333023071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520523071289062 × 2 - 1) × π
    0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333023071289062 × 2 - 1) × π
    0.333953857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04914698508455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12895026} λ = 0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04914698508455))-π/2
    2×atan(2.85521453840344)-π/2
    2×1.23391094067676-π/2
    2.46782188135352-1.57079632675     		φ = 0.89702555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89702555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.395778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34113 KachelY 21825 0.12895026 0.89702555 7.388306 51.395778
    Oben rechts KachelX + 1 34114 KachelY 21825 0.12904613 0.89702555 7.393799 51.395778
    Unten links KachelX 34113 KachelY + 1 21826 0.12895026 0.89696573 7.388306 51.392351
    Unten rechts KachelX + 1 34114 KachelY + 1 21826 0.12904613 0.89696573 7.393799 51.392351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89702555-0.89696573) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dl = 381.113219999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89702555-0.89696573) × R
    5.98199999999327e-05 × 6371000     		dr = 381.113219999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12895026-0.12904613) × cos(0.89702555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623937181762015 × 6371000     		do = 381.093199868497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12895026-0.12904613) × cos(0.89696573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.623983928450182 × 6371000     		du = 381.121752173918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89702555)-sin(0.89696573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623937181762015-0.623983928450182)×R²
    abs(0.12904613-0.12895026)×4.67466881677314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67466881677314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67466881677314e-05×40589641000000     		ar = 145245.097395754m²