Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34114 / 21826
↖ ↑ ↗
← N 51.392351°
E  7.393799°		 ← 381.16 m → N 51.392351°
E  7.399292°		 →
↑
381.11 m
↓
↑
381.11 m
↓
N 51.388923°
E  7.393799°		 ← 381.19 m →
145 271 m²		 N 51.388923°
E  7.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520545959472656 y=0.333045959472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520545959472656 × 216)
    floor (0.520545959472656 × 65536)
    floor (34114.5)     		tx = 34114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333045959472656 × 216)
    floor (0.333045959472656 × 65536)
    floor (21826.5)     		ty = 21826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34114 / 21826 ti = "16/34114/21826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34114/21826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34114 ÷ 216
    34114 ÷ 65536     		x = 0.520538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21826 ÷ 216
    21826 ÷ 65536     		y = 0.333038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520538330078125 × 2 - 1) × π
    0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333038330078125 × 2 - 1) × π
    0.33392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04905111128531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12904613} λ = 0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04905111128531))-π/2
    2×atan(2.85494081125984)-π/2
    2×1.23388102994241-π/2
    2.46776205988482-1.57079632675     		φ = 0.89696573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89696573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.392351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34114 KachelY 21826 0.12904613 0.89696573 7.393799 51.392351
    Oben rechts KachelX + 1 34115 KachelY 21826 0.12914201 0.89696573 7.399292 51.392351
    Unten links KachelX 34114 KachelY + 1 21827 0.12904613 0.89690591 7.393799 51.388923
    Unten rechts KachelX + 1 34115 KachelY + 1 21827 0.12914201 0.89690591 7.399292 51.388923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89696573-0.89690591) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dl = 381.113220000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89696573-0.89690591) × R
    5.98200000000437e-05 × 6371000     		dr = 381.113220000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12904613-0.12914201) × cos(0.89696573) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.623983928450182 × 6371000     		do = 381.161506189979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12904613-0.12914201) × cos(0.89690591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624030672905466 × 6371000     		du = 381.19006010967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89696573)-sin(0.89690591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623983928450182-0.624030672905466)×R²
    abs(0.12914201-0.12904613)×4.67444552835206e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67444552835206e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67444552835206e-05×40589641000000     		ar = 145271.130145785m²