Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34117 / 21829
↖ ↑ ↗
← N 51.382067°
E  7.410279°		 ← 381.21 m → N 51.382067°
E  7.415772°		 →
↑
381.24 m
↓
↑
381.24 m
↓
N 51.378638°
E  7.410279°		 ← 381.24 m →
145 337 m²		 N 51.378638°
E  7.415772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520591735839844 y=0.333091735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520591735839844 × 216)
    floor (0.520591735839844 × 65536)
    floor (34117.5)     		tx = 34117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333091735839844 × 216)
    floor (0.333091735839844 × 65536)
    floor (21829.5)     		ty = 21829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34117 / 21829 ti = "16/34117/21829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34117/21829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34117 ÷ 216
    34117 ÷ 65536     		x = 0.520584106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21829 ÷ 216
    21829 ÷ 65536     		y = 0.333084106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520584106445312 × 2 - 1) × π
    0.041168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12933376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333084106445312 × 2 - 1) × π
    0.333831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04876348988759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12933376} λ = 0.12933376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04876348988759))-π/2
    2×atan(2.85411978727099)-π/2
    2×1.23379128429326-π/2
    2.46758256858652-1.57079632675     		φ = 0.89678624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12933376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.410279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89678624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.382067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34117 KachelY 21829 0.12933376 0.89678624 7.410279 51.382067
    Oben rechts KachelX + 1 34118 KachelY 21829 0.12942963 0.89678624 7.415772 51.382067
    Unten links KachelX 34117 KachelY + 1 21830 0.12933376 0.89672640 7.410279 51.378638
    Unten rechts KachelX + 1 34118 KachelY + 1 21830 0.12942963 0.89672640 7.415772 51.378638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89678624-0.89672640) × R
    5.98399999999222e-05 × 6371000     		dl = 381.240639999504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89678624-0.89672640) × R
    5.98399999999222e-05 × 6371000     		dr = 381.240639999504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12933376-0.12942963) × cos(0.89678624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624124178556466 × 6371000     		do = 381.207415223577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12933376-0.12942963) × cos(0.89672640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		du = 381.235971616448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89678624)-sin(0.89672640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624124178556466-0.624170931936729)×R²
    abs(0.12942963-0.12933376)×4.67533802632758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67533802632758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67533802632758e-05×40589641000000     		ar = 145337.20242461m²