Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34120 / 21832
↖ ↑ ↗
← N 51.371780°
E  7.426758°		 ← 381.29 m → N 51.371780°
E  7.432251°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
N 51.368351°
E  7.426758°		 ← 381.32 m →
145 394 m²		 N 51.368351°
E  7.432251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520637512207031 y=0.333137512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520637512207031 × 216)
    floor (0.520637512207031 × 65536)
    floor (34120.5)     		tx = 34120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333137512207031 × 216)
    floor (0.333137512207031 × 65536)
    floor (21832.5)     		ty = 21832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34120 / 21832 ti = "16/34120/21832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34120/21832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34120 ÷ 216
    34120 ÷ 65536     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21832 ÷ 216
    21832 ÷ 65536     		y = 0.3331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3331298828125 × 2 - 1) × π
    0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04847586848987))-π/2
    2×atan(2.85329899939225)-π/2
    2×1.23370151847368-π/2
    2.46740303694736-1.57079632675     		φ = 0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34120 KachelY 21832 0.12962138 0.89660671 7.426758 51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 34121 KachelY 21832 0.12971725 0.89660671 7.432251 51.371780
    Unten links KachelX 34120 KachelY + 1 21833 0.12962138 0.89654686 7.426758 51.368351
    Unten rechts KachelX + 1 34121 KachelY + 1 21833 0.12971725 0.89654686 7.432251 51.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89660671-0.89654686) × R
    5.98500000000834e-05 × 6371000     		dl = 381.304350000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89660671-0.89654686) × R
    5.98500000000834e-05 × 6371000     		dr = 381.304350000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.12971725) × cos(0.89660671) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 381.293085078223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.12971725) × cos(0.89654686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.624311194290081 × 6371000     		du = 381.321642146467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89660671)-sin(0.89654686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624311194290081)×R²
    abs(0.12971725-0.12962138)×4.67544860032199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67544860032199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67544860032199e-05×40589641000000     		ar = 145394.156476074m²