Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34127 / 21841
↖ ↑ ↗
← N 51.340907°
E  7.465210°		 ← 381.59 m → N 51.340907°
E  7.470703°		 →
↑
381.56 m
↓
↑
381.56 m
↓
N 51.337476°
E  7.465210°		 ← 381.62 m →
145 605 m²		 N 51.337476°
E  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520744323730469 y=0.333274841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520744323730469 × 216)
    floor (0.520744323730469 × 65536)
    floor (34127.5)     		tx = 34127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333274841308594 × 216)
    floor (0.333274841308594 × 65536)
    floor (21841.5)     		ty = 21841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34127 / 21841 ti = "16/34127/21841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34127/21841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34127 ÷ 216
    34127 ÷ 65536     		x = 0.520736694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21841 ÷ 216
    21841 ÷ 65536     		y = 0.333267211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520736694335938 × 2 - 1) × π
    0.041473388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13029249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333267211914062 × 2 - 1) × π
    0.333465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04761300429671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13029249} λ = 0.13029249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04761300429671))-π/2
    2×atan(2.85083805173779)-π/2
    2×1.23343209997596-π/2
    2.46686419995191-1.57079632675     		φ = 0.89606787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13029249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.465210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89606787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.340907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34127 KachelY 21841 0.13029249 0.89606787 7.465210 51.340907
    Oben rechts KachelX + 1 34128 KachelY 21841 0.13038837 0.89606787 7.470703 51.340907
    Unten links KachelX 34127 KachelY + 1 21842 0.13029249 0.89600798 7.465210 51.337476
    Unten rechts KachelX + 1 34128 KachelY + 1 21842 0.13038837 0.89600798 7.470703 51.337476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89606787-0.89600798) × R
    5.98899999999514e-05 × 6371000     		dl = 381.55918999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89606787-0.89600798) × R
    5.98899999999514e-05 × 6371000     		dr = 381.55918999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13029249-0.13038837) × cos(0.89606787) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624685298023924 × 6371000     		do = 381.589938832126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13029249-0.13038837) × cos(0.89600798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624732063603693 × 6371000     		du = 381.61850565574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89606787)-sin(0.89600798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624685298023924-0.624732063603693)×R²
    abs(0.13038837-0.13029249)×4.67655797686817e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67655797686817e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67655797686817e-05×40589641000000     		ar = 145604.597983479m²