Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34241 / 21697
↖ ↑ ↗
← N 51.832383°
E  8.091431°		 ← 377.44 m → N 51.832383°
E  8.096924°		 →
↑
377.48 m
↓
↑
377.48 m
↓
N 51.828988°
E  8.091431°		 ← 377.47 m →
142 484 m²		 N 51.828988°
E  8.096924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522483825683594 y=0.331077575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522483825683594 × 216)
    floor (0.522483825683594 × 65536)
    floor (34241.5)     		tx = 34241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331077575683594 × 216)
    floor (0.331077575683594 × 65536)
    floor (21697.5)     		ty = 21697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34241 / 21697 ti = "16/34241/21697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34241/21697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34241 ÷ 216
    34241 ÷ 65536     		x = 0.522476196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21697 ÷ 216
    21697 ÷ 65536     		y = 0.331069946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522476196289062 × 2 - 1) × π
    0.044952392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14122211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331069946289062 × 2 - 1) × π
    0.337860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06141883138728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14122211} λ = 0.14122211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06141883138728))-π/2
    2×atan(2.89046916964886)-π/2
    2×1.23772103525128-π/2
    2.47544207050256-1.57079632675     		φ = 0.90464574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14122211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.091431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90464574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.832383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34241 KachelY 21697 0.14122211 0.90464574 8.091431 51.832383
    Oben rechts KachelX + 1 34242 KachelY 21697 0.14131798 0.90464574 8.096924 51.832383
    Unten links KachelX 34241 KachelY + 1 21698 0.14122211 0.90458649 8.091431 51.828988
    Unten rechts KachelX + 1 34242 KachelY + 1 21698 0.14131798 0.90458649 8.096924 51.828988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90464574-0.90458649) × R
    5.92499999999552e-05 × 6371000     		dl = 377.481749999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90464574-0.90458649) × R
    5.92499999999552e-05 × 6371000     		dr = 377.481749999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14122211-0.14131798) × cos(0.90464574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617964140143152 × 6371000     		do = 377.444939097995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14122211-0.14131798) × cos(0.90458649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61801072178077 × 6371000     		du = 377.473390592559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90464574)-sin(0.90458649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617964140143152-0.61801072178077)×R²
    abs(0.14131798-0.14122211)×4.65816376175043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65816376175043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65816376175043e-05×40589641000000     		ar = 142483.946140682m²