Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34242 / 21698
↖ ↑ ↗
← N 51.828988°
E  8.096924°		 ← 377.47 m → N 51.828988°
E  8.102417°		 →
↑
377.48 m
↓
↑
377.48 m
↓
N 51.825593°
E  8.096924°		 ← 377.50 m →
142 495 m²		 N 51.825593°
E  8.102417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522499084472656 y=0.331092834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522499084472656 × 216)
    floor (0.522499084472656 × 65536)
    floor (34242.5)     		tx = 34242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331092834472656 × 216)
    floor (0.331092834472656 × 65536)
    floor (21698.5)     		ty = 21698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34242 / 21698 ti = "16/34242/21698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34242/21698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34242 ÷ 216
    34242 ÷ 65536     		x = 0.522491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21698 ÷ 216
    21698 ÷ 65536     		y = 0.331085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522491455078125 × 2 - 1) × π
    0.04498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14131798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331085205078125 × 2 - 1) × π
    0.33782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06132295758804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14131798} λ = 0.14131798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06132295758804))-π/2
    2×atan(2.89019206267184)-π/2
    2×1.23769141085-π/2
    2.4753828217-1.57079632675     		φ = 0.90458649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14131798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.096924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90458649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.828988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34242 KachelY 21698 0.14131798 0.90458649 8.096924 51.828988
    Oben rechts KachelX + 1 34243 KachelY 21698 0.14141385 0.90458649 8.102417 51.828988
    Unten links KachelX 34242 KachelY + 1 21699 0.14131798 0.90452724 8.096924 51.825593
    Unten rechts KachelX + 1 34243 KachelY + 1 21699 0.14141385 0.90452724 8.102417 51.825593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90458649-0.90452724) × R
    5.92500000000662e-05 × 6371000     		dl = 377.481750000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90458649-0.90452724) × R
    5.92500000000662e-05 × 6371000     		dr = 377.481750000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14131798-0.14141385) × cos(0.90458649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61801072178077 × 6371000     		do = 377.473390592559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14131798-0.14141385) × cos(0.90452724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		du = 377.501840761978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90458649)-sin(0.90452724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61801072178077-0.618057301248822)×R²
    abs(0.14141385-0.14131798)×4.65794680524212e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65794680524212e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65794680524212e-05×40589641000000     		ar = 142494.685811392m²