Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34808 / 22520
↖ ↑ ↗
← N 48.951367°
E 11.206055°		 ← 401.10 m → N 48.951367°
E 11.211548°		 →
↑
401.12 m
↓
↑
401.12 m
↓
N 48.947759°
E 11.206055°		 ← 401.13 m →
160 896 m²		 N 48.947759°
E 11.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531135559082031 y=0.343635559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531135559082031 × 216)
    floor (0.531135559082031 × 65536)
    floor (34808.5)     		tx = 34808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343635559082031 × 216)
    floor (0.343635559082031 × 65536)
    floor (22520.5)     		ty = 22520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34808 / 22520 ti = "16/34808/22520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34808/22520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34808 ÷ 216
    34808 ÷ 65536     		x = 0.5311279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22520 ÷ 216
    22520 ÷ 65536     		y = 0.3436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5311279296875 × 2 - 1) × π
    0.062255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19558255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3436279296875 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.982514694612671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19558255} λ = 0.19558255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.982514694612671))-π/2
    2×atan(2.67116496734921)-π/2
    2×1.21257942252242-π/2
    2.42515884504485-1.57079632675     		φ = 0.85436252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19558255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85436252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.951367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34808 KachelY 22520 0.19558255 0.85436252 11.206055 48.951367
    Oben rechts KachelX + 1 34809 KachelY 22520 0.19567842 0.85436252 11.211548 48.951367
    Unten links KachelX 34808 KachelY + 1 22521 0.19558255 0.85429956 11.206055 48.947759
    Unten rechts KachelX + 1 34809 KachelY + 1 22521 0.19567842 0.85429956 11.211548 48.947759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85436252-0.85429956) × R
    6.29600000000563e-05 × 6371000     		dl = 401.118160000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85436252-0.85429956) × R
    6.29600000000563e-05 × 6371000     		dr = 401.118160000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19558255-0.19567842) × cos(0.85436252) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656699400236557 × 6371000     		do = 401.103962230815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19558255-0.19567842) × cos(0.85429956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		du = 401.132962517089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85436252)-sin(0.85429956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656699400236557-0.656746880372372)×R²
    abs(0.19567842-0.19558255)×4.74801358155696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74801358155696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74801358155696e-05×40589641000000     		ar = 160895.899622668m²