Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34818 / 22530
↖ ↑ ↗
← N 48.915280°
E 11.260986°		 ← 401.39 m → N 48.915280°
E 11.266479°		 →
↑
401.44 m
↓
↑
401.44 m
↓
N 48.911670°
E 11.260986°		 ← 401.42 m →
161 140 m²		 N 48.911670°
E 11.266479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531288146972656 y=0.343788146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531288146972656 × 216)
    floor (0.531288146972656 × 65536)
    floor (34818.5)     		tx = 34818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343788146972656 × 216)
    floor (0.343788146972656 × 65536)
    floor (22530.5)     		ty = 22530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34818 / 22530 ti = "16/34818/22530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34818/22530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34818 ÷ 216
    34818 ÷ 65536     		x = 0.531280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22530 ÷ 216
    22530 ÷ 65536     		y = 0.343780517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531280517578125 × 2 - 1) × π
    0.06256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19654129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343780517578125 × 2 - 1) × π
    0.31243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.98155595662027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19654129} λ = 0.19654129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98155595662027))-π/2
    2×atan(2.66860524725756)-π/2
    2×1.21226450737675-π/2
    2.4245290147535-1.57079632675     		φ = 0.85373269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19654129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85373269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.915280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34818 KachelY 22530 0.19654129 0.85373269 11.260986 48.915280
    Oben rechts KachelX + 1 34819 KachelY 22530 0.19663716 0.85373269 11.266479 48.915280
    Unten links KachelX 34818 KachelY + 1 22531 0.19654129 0.85366968 11.260986 48.911670
    Unten rechts KachelX + 1 34819 KachelY + 1 22531 0.19663716 0.85366968 11.266479 48.911670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85373269-0.85366968) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dl = 401.436709999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85373269-0.85366968) × R
    6.30099999999745e-05 × 6371000     		dr = 401.436709999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19654129-0.19663716) × cos(0.85373269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.65717425778267 × 6371000     		do = 401.393999412473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19654129-0.19663716) × cos(0.85366968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		du = 401.42300680446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85373269)-sin(0.85366968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65717425778267-0.657221749552171)×R²
    abs(0.19663716-0.19654129)×4.74917695011401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74917695011401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74917695011401e-05×40589641000000     		ar = 161140.108906911m²