Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34822 / 22526
↖ ↑ ↗
← N 48.929717°
E 11.282959°		 ← 401.32 m → N 48.929717°
E 11.288452°		 →
↑
401.31 m
↓
↑
401.31 m
↓
N 48.926108°
E 11.282959°		 ← 401.35 m →
161 059 m²		 N 48.926108°
E 11.288452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531349182128906 y=0.343727111816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531349182128906 × 216)
    floor (0.531349182128906 × 65536)
    floor (34822.5)     		tx = 34822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343727111816406 × 216)
    floor (0.343727111816406 × 65536)
    floor (22526.5)     		ty = 22526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34822 / 22526 ti = "16/34822/22526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34822/22526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34822 ÷ 216
    34822 ÷ 65536     		x = 0.531341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22526 ÷ 216
    22526 ÷ 65536     		y = 0.343719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531341552734375 × 2 - 1) × π
    0.06268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19692478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343719482421875 × 2 - 1) × π
    0.31256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.98193945181723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19692478} λ = 0.19692478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98193945181723))-π/2
    2×atan(2.66962884081153)-π/2
    2×1.21239050075103-π/2
    2.42478100150206-1.57079632675     		φ = 0.85398467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19692478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85398467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.929717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34822 KachelY 22526 0.19692478 0.85398467 11.282959 48.929717
    Oben rechts KachelX + 1 34823 KachelY 22526 0.19702066 0.85398467 11.288452 48.929717
    Unten links KachelX 34822 KachelY + 1 22527 0.19692478 0.85392168 11.282959 48.926108
    Unten rechts KachelX + 1 34823 KachelY + 1 22527 0.19702066 0.85392168 11.288452 48.926108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85398467-0.85392168) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dl = 401.309289999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85398467-0.85392168) × R
    6.2989999999985e-05 × 6371000     		dr = 401.309289999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19692478-0.19702066) × cos(0.85398467) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.65698430984928 × 6371000     		do = 401.31983800818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19692478-0.19702066) × cos(0.85392168) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.657031796974519 × 6371000     		du = 401.348845588914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85398467)-sin(0.85392168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65698430984928-0.657031796974519)×R²
    abs(0.19702066-0.19692478)×4.74871252396092e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74871252396092e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74871252396092e-05×40589641000000     		ar = 161059.199813071m²