Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34831 / 22545
↖ ↑ ↗
← N 48.861101°
E 11.332398°		 ← 401.83 m → N 48.861101°
E 11.337891°		 →
↑
401.88 m
↓
↑
401.88 m
↓
N 48.857487°
E 11.332398°		 ← 401.86 m →
161 494 m²		 N 48.857487°
E 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531486511230469 y=0.344017028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531486511230469 × 216)
    floor (0.531486511230469 × 65536)
    floor (34831.5)     		tx = 34831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344017028808594 × 216)
    floor (0.344017028808594 × 65536)
    floor (22545.5)     		ty = 22545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34831 / 22545 ti = "16/34831/22545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34831/22545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34831 ÷ 216
    34831 ÷ 65536     		x = 0.531478881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22545 ÷ 216
    22545 ÷ 65536     		y = 0.344009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531478881835938 × 2 - 1) × π
    0.062957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19778765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    0.311981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980117849631668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19778765} λ = 0.19778765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980117849631668))-π/2
    2×atan(2.66477026561955)-π/2
    2×1.21179170779875-π/2
    2.42358341559749-1.57079632675     		φ = 0.85278709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19778765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.332398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85278709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.861101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34831 KachelY 22545 0.19778765 0.85278709 11.332398 48.861101
    Oben rechts KachelX + 1 34832 KachelY 22545 0.19788352 0.85278709 11.337891 48.861101
    Unten links KachelX 34831 KachelY + 1 22546 0.19778765 0.85272401 11.332398 48.857487
    Unten rechts KachelX + 1 34832 KachelY + 1 22546 0.19788352 0.85272401 11.337891 48.857487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85278709-0.85272401) × R
    6.30799999999931e-05 × 6371000     		dl = 401.882679999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85278709-0.85272401) × R
    6.30799999999931e-05 × 6371000     		dr = 401.882679999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19778765-0.19788352) × cos(0.85278709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657886699161257 × 6371000     		do = 401.829149893356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19778765-0.19788352) × cos(0.85272401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.657934204467473 × 6371000     		du = 401.858165553403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85278709)-sin(0.85272401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657886699161257-0.657934204467473)×R²
    abs(0.19788352-0.19778765)×4.75053062154451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75053062154451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75053062154451e-05×40589641000000     		ar = 161494.006160693m²