Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34847 / 22559
↖ ↑ ↗
← N 48.810481°
E 11.420288°		 ← 402.24 m → N 48.810481°
E 11.425781°		 →
↑
402.33 m
↓
↑
402.33 m
↓
N 48.806863°
E 11.420288°		 ← 402.26 m →
161 837 m²		 N 48.806863°
E 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531730651855469 y=0.344230651855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531730651855469 × 216)
    floor (0.531730651855469 × 65536)
    floor (34847.5)     		tx = 34847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344230651855469 × 216)
    floor (0.344230651855469 × 65536)
    floor (22559.5)     		ty = 22559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34847 / 22559 ti = "16/34847/22559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34847/22559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34847 ÷ 216
    34847 ÷ 65536     		x = 0.531723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22559 ÷ 216
    22559 ÷ 65536     		y = 0.344223022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531723022460938 × 2 - 1) × π
    0.063446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.19932163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344223022460938 × 2 - 1) × π
    0.311553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.978775616442306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19932163} λ = 0.19932163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978775616442306))-π/2
    2×atan(2.66119592186504)-π/2
    2×1.21134996594269-π/2
    2.42269993188538-1.57079632675     		φ = 0.85190361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19932163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.420288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85190361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.810481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34847 KachelY 22559 0.19932163 0.85190361 11.420288 48.810481
    Oben rechts KachelX + 1 34848 KachelY 22559 0.19941750 0.85190361 11.425781 48.810481
    Unten links KachelX 34847 KachelY + 1 22560 0.19932163 0.85184046 11.420288 48.806863
    Unten rechts KachelX + 1 34848 KachelY + 1 22560 0.19941750 0.85184046 11.425781 48.806863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85190361-0.85184046) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dl = 402.328650000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85190361-0.85184046) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dr = 402.328650000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19932163-0.19941750) × cos(0.85190361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658551806056354 × 6371000     		do = 402.235389050624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19932163-0.19941750) × cos(0.85184046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658599327353307 × 6371000     		du = 402.264414477617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85190361)-sin(0.85184046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658551806056354-0.658599327353307)×R²
    abs(0.19941750-0.19932163)×4.75212969524019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75212969524019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75212969524019e-05×40589641000000     		ar = 161836.659993071m²