Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34849 / 22561
↖ ↑ ↗
← N 48.803246°
E 11.431275°		 ← 402.29 m → N 48.803246°
E 11.436768°		 →
↑
402.33 m
↓
↑
402.33 m
↓
N 48.799627°
E 11.431275°		 ← 402.32 m →
161 860 m²		 N 48.799627°
E 11.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531761169433594 y=0.344261169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531761169433594 × 216)
    floor (0.531761169433594 × 65536)
    floor (34849.5)     		tx = 34849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344261169433594 × 216)
    floor (0.344261169433594 × 65536)
    floor (22561.5)     		ty = 22561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34849 / 22561 ti = "16/34849/22561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34849/22561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34849 ÷ 216
    34849 ÷ 65536     		x = 0.531753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22561 ÷ 216
    22561 ÷ 65536     		y = 0.344253540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531753540039062 × 2 - 1) × π
    0.063507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19951338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344253540039062 × 2 - 1) × π
    0.311492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.978583868843826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19951338} λ = 0.19951338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978583868843826))-π/2
    2×atan(2.6606856928571)-π/2
    2×1.21128682352335-π/2
    2.42257364704669-1.57079632675     		φ = 0.85177732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19951338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.431275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85177732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.803246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34849 KachelY 22561 0.19951338 0.85177732 11.431275 48.803246
    Oben rechts KachelX + 1 34850 KachelY 22561 0.19960925 0.85177732 11.436768 48.803246
    Unten links KachelX 34849 KachelY + 1 22562 0.19951338 0.85171417 11.431275 48.799627
    Unten rechts KachelX + 1 34850 KachelY + 1 22562 0.19960925 0.85171417 11.436768 48.799627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85177732-0.85171417) × R
    6.31499999999008e-05 × 6371000     		dl = 402.328649999368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85177732-0.85171417) × R
    6.31499999999008e-05 × 6371000     		dr = 402.328649999368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19951338-0.19960925) × cos(0.85177732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658646838499294 × 6371000     		do = 402.293433704525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19951338-0.19960925) × cos(0.85171417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		du = 402.322455923258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85177732)-sin(0.85171417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658646838499294-0.658694354543587)×R²
    abs(0.19960925-0.19951338)×4.75160442926503e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75160442926503e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75160442926503e-05×40589641000000     		ar = 161860.012374947m²