Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34850 / 22562
↖ ↑ ↗
← N 48.799627°
E 11.436768°		 ← 402.32 m → N 48.799627°
E 11.442261°		 →
↑
402.33 m
↓
↑
402.33 m
↓
N 48.796009°
E 11.436768°		 ← 402.35 m →
161 872 m²		 N 48.796009°
E 11.442261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531776428222656 y=0.344276428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531776428222656 × 216)
    floor (0.531776428222656 × 65536)
    floor (34850.5)     		tx = 34850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344276428222656 × 216)
    floor (0.344276428222656 × 65536)
    floor (22562.5)     		ty = 22562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34850 / 22562 ti = "16/34850/22562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34850/22562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34850 ÷ 216
    34850 ÷ 65536     		x = 0.531768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22562 ÷ 216
    22562 ÷ 65536     		y = 0.344268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531768798828125 × 2 - 1) × π
    0.06353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19960925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344268798828125 × 2 - 1) × π
    0.31146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978487995044586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19960925} λ = 0.19960925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978487995044586))-π/2
    2×atan(2.66043061503898)-π/2
    2×1.2112552488971-π/2
    2.42251049779421-1.57079632675     		φ = 0.85171417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19960925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85171417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.799627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34850 KachelY 22562 0.19960925 0.85171417 11.436768 48.799627
    Oben rechts KachelX + 1 34851 KachelY 22562 0.19970512 0.85171417 11.442261 48.799627
    Unten links KachelX 34850 KachelY + 1 22563 0.19960925 0.85165102 11.436768 48.796009
    Unten rechts KachelX + 1 34851 KachelY + 1 22563 0.19970512 0.85165102 11.442261 48.796009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85171417-0.85165102) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dl = 402.328650000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85171417-0.85165102) × R
    6.31500000000118e-05 × 6371000     		dr = 402.328650000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19960925-0.19970512) × cos(0.85171417) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		do = 402.322455923374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19960925-0.19970512) × cos(0.85165102) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		du = 402.351476537676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85171417)-sin(0.85165102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658694354543587-0.658741867961057)×R²
    abs(0.19970512-0.19960925)×4.75134174707792e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.75134174707792e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.75134174707792e-05×40589641000000     		ar = 161871.688522297m²