Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34864 / 22512
↖ ↑ ↗
← N 48.980217°
E 11.513672°		 ← 400.91 m → N 48.980217°
E 11.519165°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
N 48.976612°
E 11.513672°		 ← 400.94 m →
160 717 m²		 N 48.976612°
E 11.519165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531990051269531 y=0.343513488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531990051269531 × 216)
    floor (0.531990051269531 × 65536)
    floor (34864.5)     		tx = 34864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343513488769531 × 216)
    floor (0.343513488769531 × 65536)
    floor (22512.5)     		ty = 22512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34864 / 22512 ti = "16/34864/22512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34864/22512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34864 ÷ 216
    34864 ÷ 65536     		x = 0.531982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22512 ÷ 216
    22512 ÷ 65536     		y = 0.343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531982421875 × 2 - 1) × π
    0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343505859375 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.983281685006592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20095148} λ = 0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983281685006592))-π/2
    2×atan(2.67321451110945)-π/2
    2×1.21283119075625-π/2
    2.4256623815125-1.57079632675     		φ = 0.85486605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85486605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.980217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34864 KachelY 22512 0.20095148 0.85486605 11.513672 48.980217
    Oben rechts KachelX + 1 34865 KachelY 22512 0.20104736 0.85486605 11.519165 48.980217
    Unten links KachelX 34864 KachelY + 1 22513 0.20095148 0.85480313 11.513672 48.976612
    Unten rechts KachelX + 1 34865 KachelY + 1 22513 0.20104736 0.85480313 11.519165 48.976612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85486605-0.85480313) × R
    6.29200000000774e-05 × 6371000     		dl = 400.863320000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85486605-0.85480313) × R
    6.29200000000774e-05 × 6371000     		dr = 400.863320000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20095148-0.20104736) × cos(0.85486605) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.65631957862558 × 6371000     		do = 400.913785956497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20095148-0.20104736) × cos(0.85480313) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		du = 400.942783547664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85486605)-sin(0.85480313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65631957862558-0.656367049397308)×R²
    abs(0.20104736-0.20095148)×4.74707717279532e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.74707717279532e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.74707717279532e-05×40589641000000     		ar = 160717.44336084m²