Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34880 / 22464
↖ ↑ ↗
← N 49.152970°
E 11.601562°		 ← 399.52 m → N 49.152970°
E 11.607056°		 →
↑
399.53 m
↓
↑
399.53 m
↓
N 49.149377°
E 11.601562°		 ← 399.55 m →
159 625 m²		 N 49.149377°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532234191894531 y=0.342781066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532234191894531 × 216)
    floor (0.532234191894531 × 65536)
    floor (34880.5)     		tx = 34880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342781066894531 × 216)
    floor (0.342781066894531 × 65536)
    floor (22464.5)     		ty = 22464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34880 / 22464 ti = "16/34880/22464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34880/22464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34880 ÷ 216
    34880 ÷ 65536     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22464 ÷ 216
    22464 ÷ 65536     		y = 0.3427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.987883627370117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.987883627370117))-π/2
    2×atan(2.68554484018595)-π/2
    2×1.21433874220473-π/2
    2.42867748440947-1.57079632675     		φ = 0.85788116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85788116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.152970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34880 KachelY 22464 0.20248546 0.85788116 11.601562 49.152970
    Oben rechts KachelX + 1 34881 KachelY 22464 0.20258134 0.85788116 11.607056 49.152970
    Unten links KachelX 34880 KachelY + 1 22465 0.20248546 0.85781845 11.601562 49.149377
    Unten rechts KachelX + 1 34881 KachelY + 1 22465 0.20258134 0.85781845 11.607056 49.149377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85788116-0.85781845) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dl = 399.525410000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85788116-0.85781845) × R
    6.27100000000214e-05 × 6371000     		dr = 399.525410000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(0.85788116) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654041749545626 × 6371000     		do = 399.522370691704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(0.85781845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.654089185769106 × 6371000     		du = 399.551347179023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85788116)-sin(0.85781845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654041749545626-0.654089185769106)×R²
    abs(0.20258134-0.20248546)×4.74362234801351e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74362234801351e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74362234801351e-05×40589641000000     		ar = 159625.127428674m²