Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34880 / 22592
↖ ↑ ↗
← N 48.690960°
E 11.601562°		 ← 403.24 m → N 48.690960°
E 11.607056°		 →
↑
403.22 m
↓
↑
403.22 m
↓
N 48.687334°
E 11.601562°		 ← 403.26 m →
162 599 m²		 N 48.687334°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532234191894531 y=0.344734191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532234191894531 × 216)
    floor (0.532234191894531 × 65536)
    floor (34880.5)     		tx = 34880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344734191894531 × 216)
    floor (0.344734191894531 × 65536)
    floor (22592.5)     		ty = 22592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34880 / 22592 ti = "16/34880/22592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34880/22592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34880 ÷ 216
    34880 ÷ 65536     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22592 ÷ 216
    22592 ÷ 65536     		y = 0.3447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3447265625 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975611781067383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975611781067383))-π/2
    2×atan(2.65278964112417)-π/2
    2×1.21030695077814-π/2
    2.42061390155628-1.57079632675     		φ = 0.84981757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84981757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.690960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34880 KachelY 22592 0.20248546 0.84981757 11.601562 48.690960
    Oben rechts KachelX + 1 34881 KachelY 22592 0.20258134 0.84981757 11.607056 48.690960
    Unten links KachelX 34880 KachelY + 1 22593 0.20248546 0.84975428 11.601562 48.687334
    Unten rechts KachelX + 1 34881 KachelY + 1 22593 0.20258134 0.84975428 11.607056 48.687334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84981757-0.84975428) × R
    6.32900000000491e-05 × 6371000     		dl = 403.220590000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84981757-0.84975428) × R
    6.32900000000491e-05 × 6371000     		dr = 403.220590000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(0.84981757) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.66012019098618 × 6371000     		do = 403.235395641759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20258134) × cos(0.84975428) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.660167730579939 × 6371000     		du = 403.264435272966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84981757)-sin(0.84975428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66012019098618-0.660167730579939)×R²
    abs(0.20258134-0.20248546)×4.75395937598044e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75395937598044e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75395937598044e-05×40589641000000     		ar = 162598.668882809m²