Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34884 / 22596
↖ ↑ ↗
← N 48.676454°
E 11.623535°		 ← 403.31 m → N 48.676454°
E 11.629028°		 →
↑
403.35 m
↓
↑
403.35 m
↓
N 48.672827°
E 11.623535°		 ← 403.34 m →
162 680 m²		 N 48.672827°
E 11.629028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532295227050781 y=0.344795227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532295227050781 × 216)
    floor (0.532295227050781 × 65536)
    floor (34884.5)     		tx = 34884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344795227050781 × 216)
    floor (0.344795227050781 × 65536)
    floor (22596.5)     		ty = 22596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34884 / 22596 ti = "16/34884/22596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34884/22596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34884 ÷ 216
    34884 ÷ 65536     		x = 0.53228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22596 ÷ 216
    22596 ÷ 65536     		y = 0.34478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53228759765625 × 2 - 1) × π
    0.0645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20286896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34478759765625 × 2 - 1) × π
    0.3104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975228285870422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20286896} λ = 0.20286896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975228285870422))-π/2
    2×atan(2.6517725040843)-π/2
    2×1.2101803560859-π/2
    2.42036071217179-1.57079632675     		φ = 0.84956439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20286896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84956439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.676454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34884 KachelY 22596 0.20286896 0.84956439 11.623535 48.676454
    Oben rechts KachelX + 1 34885 KachelY 22596 0.20296483 0.84956439 11.629028 48.676454
    Unten links KachelX 34884 KachelY + 1 22597 0.20286896 0.84950108 11.623535 48.672827
    Unten rechts KachelX + 1 34885 KachelY + 1 22597 0.20296483 0.84950108 11.629028 48.672827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84956439-0.84950108) × R
    6.33099999999276e-05 × 6371000     		dl = 403.348009999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84956439-0.84950108) × R
    6.33099999999276e-05 × 6371000     		dr = 403.348009999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20286896-0.20296483) × cos(0.84956439) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		do = 403.309485276904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20286896-0.20296483) × cos(0.84950108) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.660357892547279 × 6371000     		du = 403.33852459096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84956439)-sin(0.84950108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660310348514012-0.660357892547279)×R²
    abs(0.20296483-0.20286896)×4.75440332671218e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.75440332671218e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.75440332671218e-05×40589641000000     		ar = 162679.93482939m²