Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34888 / 22600
↖ ↑ ↗
← N 48.661943°
E 11.645508°		 ← 403.47 m → N 48.661943°
E 11.651001°		 →
↑
403.41 m
↓
↑
403.41 m
↓
N 48.658315°
E 11.645508°		 ← 403.50 m →
162 769 m²		 N 48.658315°
E 11.651001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532356262207031 y=0.344856262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532356262207031 × 216)
    floor (0.532356262207031 × 65536)
    floor (34888.5)     		tx = 34888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344856262207031 × 216)
    floor (0.344856262207031 × 65536)
    floor (22600.5)     		ty = 22600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34888 / 22600 ti = "16/34888/22600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34888/22600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34888 ÷ 216
    34888 ÷ 65536     		x = 0.5323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22600 ÷ 216
    22600 ÷ 65536     		y = 0.3448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5323486328125 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20325245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3448486328125 × 2 - 1) × π
    0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20325245} λ = 0.20325245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974844790673462))-π/2
    2×atan(2.65075575703682)-π/2
    2×1.21005372492886-π/2
    2.42010744985772-1.57079632675     		φ = 0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20325245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.645508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34888 KachelY 22600 0.20325245 0.84931112 11.645508 48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 34889 KachelY 22600 0.20334833 0.84931112 11.651001 48.661943
    Unten links KachelX 34888 KachelY + 1 22601 0.20325245 0.84924780 11.645508 48.658315
    Unten rechts KachelX + 1 34889 KachelY + 1 22601 0.20334833 0.84924780 11.651001 48.658315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84931112-0.84924780) × R
    6.33199999999778e-05 × 6371000     		dl = 403.411719999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84931112-0.84924780) × R
    6.33199999999778e-05 × 6371000     		dr = 403.411719999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20325245-0.20334833) × cos(0.84931112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 403.467727079362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20325245-0.20334833) × cos(0.84924780) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.660548072241618 × 6371000     		du = 403.496767539908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84931112)-sin(0.84924780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660548072241618)×R²
    abs(0.20334833-0.20325245)×4.75409514368863e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75409514368863e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75409514368863e-05×40589641000000     		ar = 162769.467430821m²