Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34943 / 22657
↖ ↑ ↗
← N 48.454709°
E 11.947632°		 ← 405.12 m → N 48.454709°
E 11.953125°		 →
↑
405.13 m
↓
↑
405.13 m
↓
N 48.451066°
E 11.947632°		 ← 405.15 m →
164 135 m²		 N 48.451066°
E 11.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533195495605469 y=0.345726013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533195495605469 × 216)
    floor (0.533195495605469 × 65536)
    floor (34943.5)     		tx = 34943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345726013183594 × 216)
    floor (0.345726013183594 × 65536)
    floor (22657.5)     		ty = 22657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34943 / 22657 ti = "16/34943/22657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34943/22657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34943 ÷ 216
    34943 ÷ 65536     		x = 0.533187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22657 ÷ 216
    22657 ÷ 65536     		y = 0.345718383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533187866210938 × 2 - 1) × π
    0.066375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20852551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345718383789062 × 2 - 1) × π
    0.308563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.969379984116776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20852551} λ = 0.20852551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969379984116776))-π/2
    2×atan(2.63630939882442)-π/2
    2×1.20824526743031-π/2
    2.41649053486061-1.57079632675     		φ = 0.84569421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20852551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84569421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.454709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34943 KachelY 22657 0.20852551 0.84569421 11.947632 48.454709
    Oben rechts KachelX + 1 34944 KachelY 22657 0.20862139 0.84569421 11.953125 48.454709
    Unten links KachelX 34943 KachelY + 1 22658 0.20852551 0.84563062 11.947632 48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 34944 KachelY + 1 22658 0.20862139 0.84563062 11.953125 48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84569421-0.84563062) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dl = 405.131890000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84569421-0.84563062) × R
    6.35900000000023e-05 × 6371000     		dr = 405.131890000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20852551-0.20862139) × cos(0.84569421) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		do = 405.123954522332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20852551-0.20862139) × cos(0.84563062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 405.153025818339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84569421)-sin(0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663211873567635-0.663259464998546)×R²
    abs(0.20862139-0.20852551)×4.75914309107095e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75914309107095e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75914309107095e-05×40589641000000     		ar = 164134.522289889m²