Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34944 / 22400
↖ ↑ ↗
← N 49.382373°
E 11.953125°		 ← 397.63 m → N 49.382373°
E 11.958618°		 →
↑
397.68 m
↓
↑
397.68 m
↓
N 49.378797°
E 11.953125°		 ← 397.66 m →
158 133 m²		 N 49.378797°
E 11.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533210754394531 y=0.341804504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533210754394531 × 216)
    floor (0.533210754394531 × 65536)
    floor (34944.5)     		tx = 34944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341804504394531 × 216)
    floor (0.341804504394531 × 65536)
    floor (22400.5)     		ty = 22400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34944 / 22400 ti = "16/34944/22400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34944/22400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34944 ÷ 216
    34944 ÷ 65536     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22400 ÷ 216
    22400 ÷ 65536     		y = 0.341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341796875 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994019550521484))-π/2
    2×atan(2.70207379528506)-π/2
    2×1.21634066217848-π/2
    2.43268132435697-1.57079632675     		φ = 0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34944 KachelY 22400 0.20862139 0.86188500 11.953125 49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 34945 KachelY 22400 0.20871726 0.86188500 11.958618 49.382373
    Unten links KachelX 34944 KachelY + 1 22401 0.20862139 0.86182258 11.953125 49.378797
    Unten rechts KachelX + 1 34945 KachelY + 1 22401 0.20871726 0.86182258 11.958618 49.378797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86188500-0.86182258) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dl = 397.677820000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86188500-0.86182258) × R
    6.24200000000075e-05 × 6371000     		dr = 397.677820000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(0.86188500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 397.627588153167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(0.86182258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.651055156598072 × 6371000     		du = 397.656527245529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86188500)-sin(0.86182258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.651055156598072)×R²
    abs(0.20871726-0.20862139)×4.73799473129644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73799473129644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73799473129644e-05×40589641000000     		ar = 158133.426697712m²