Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34948 / 22660
↖ ↑ ↗
← N 48.443778°
E 11.975098°		 ← 405.21 m → N 48.443778°
E 11.980591°		 →
↑
405.20 m
↓
↑
405.20 m
↓
N 48.440134°
E 11.975098°		 ← 405.24 m →
164 196 m²		 N 48.440134°
E 11.980591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533271789550781 y=0.345771789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533271789550781 × 216)
    floor (0.533271789550781 × 65536)
    floor (34948.5)     		tx = 34948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345771789550781 × 216)
    floor (0.345771789550781 × 65536)
    floor (22660.5)     		ty = 22660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34948 / 22660 ti = "16/34948/22660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34948/22660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34948 ÷ 216
    34948 ÷ 65536     		x = 0.53326416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22660 ÷ 216
    22660 ÷ 65536     		y = 0.34576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53326416015625 × 2 - 1) × π
    0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34576416015625 × 2 - 1) × π
    0.3084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.969092362719055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20900488} λ = 0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969092362719055))-π/2
    2×atan(2.63555124886561)-π/2
    2×1.20814988020125-π/2
    2.4162997604025-1.57079632675     		φ = 0.84550343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84550343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.443778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34948 KachelY 22660 0.20900488 0.84550343 11.975098 48.443778
    Oben rechts KachelX + 1 34949 KachelY 22660 0.20910076 0.84550343 11.980591 48.443778
    Unten links KachelX 34948 KachelY + 1 22661 0.20900488 0.84543983 11.975098 48.440134
    Unten rechts KachelX + 1 34949 KachelY + 1 22661 0.20910076 0.84543983 11.980591 48.440134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84550343-0.84543983) × R
    6.35999999999415e-05 × 6371000     		dl = 405.195599999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84550343-0.84543983) × R
    6.35999999999415e-05 × 6371000     		dr = 405.195599999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20900488-0.20910076) × cos(0.84550343) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663354647297183 × 6371000     		do = 405.211168066331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20900488-0.20910076) × cos(0.84543983) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.663402238163681 × 6371000     		du = 405.240239017566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84550343)-sin(0.84543983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663354647297183-0.663402238163681)×R²
    abs(0.20910076-0.20900488)×4.75908664979707e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75908664979707e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75908664979707e-05×40589641000000     		ar = 164195.67213729m²