Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35076 / 22788
↖ ↑ ↗
← N 47.975214°
E 12.678223°		 ← 408.89 m → N 47.975214°
E 12.683716°		 →
↑
408.95 m
↓
↑
408.95 m
↓
N 47.971537°
E 12.678223°		 ← 408.92 m →
167 225 m²		 N 47.971537°
E 12.683716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535224914550781 y=0.347724914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535224914550781 × 216)
    floor (0.535224914550781 × 65536)
    floor (35076.5)     		tx = 35076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347724914550781 × 216)
    floor (0.347724914550781 × 65536)
    floor (22788.5)     		ty = 22788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35076 / 22788 ti = "16/35076/22788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35076/22788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35076 ÷ 216
    35076 ÷ 65536     		x = 0.53521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22788 ÷ 216
    22788 ÷ 65536     		y = 0.34771728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53521728515625 × 2 - 1) × π
    0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34771728515625 × 2 - 1) × π
    0.3045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.956820516416321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22127673} λ = 0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.956820516416321))-π/2
    2×atan(2.60340581435179)-π/2
    2×1.20406088628974-π/2
    2.40812177257949-1.57079632675     		φ = 0.83732545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83732545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.975214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35076 KachelY 22788 0.22127673 0.83732545 12.678223 47.975214
    Oben rechts KachelX + 1 35077 KachelY 22788 0.22137260 0.83732545 12.683716 47.975214
    Unten links KachelX 35076 KachelY + 1 22789 0.22127673 0.83726126 12.678223 47.971537
    Unten rechts KachelX + 1 35077 KachelY + 1 22789 0.22137260 0.83726126 12.683716 47.971537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83732545-0.83726126) × R
    6.41900000000195e-05 × 6371000     		dl = 408.954490000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83732545-0.83726126) × R
    6.41900000000195e-05 × 6371000     		dr = 408.954490000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22127673-0.22137260) × cos(0.83732545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669452021471425 × 6371000     		do = 408.893107316515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22127673-0.22137260) × cos(0.83726126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.669499703973659 × 6371000     		du = 408.922231205722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83732545)-sin(0.83726126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669452021471425-0.669499703973659)×R²
    abs(0.22137260-0.22127673)×4.76825022337479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76825022337479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76825022337479e-05×40589641000000     		ar = 167224.627397031m²