Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35080 / 22792
↖ ↑ ↗
← N 47.960503°
E 12.700195°		 ← 409.05 m → N 47.960503°
E 12.705689°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
N 47.956824°
E 12.700195°		 ← 409.08 m →
167 342 m²		 N 47.956824°
E 12.705689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535285949707031 y=0.347785949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535285949707031 × 216)
    floor (0.535285949707031 × 65536)
    floor (35080.5)     		tx = 35080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347785949707031 × 216)
    floor (0.347785949707031 × 65536)
    floor (22792.5)     		ty = 22792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35080 / 22792 ti = "16/35080/22792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35080/22792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35080 ÷ 216
    35080 ÷ 65536     		x = 0.5352783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22792 ÷ 216
    22792 ÷ 65536     		y = 0.3477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5352783203125 × 2 - 1) × π
    0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3477783203125 × 2 - 1) × π
    0.304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.95643702121936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22166022} λ = 0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95643702121936))-π/2
    2×atan(2.60240761214136)-π/2
    2×1.20393250218688-π/2
    2.40786500437377-1.57079632675     		φ = 0.83706868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83706868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.960503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35080 KachelY 22792 0.22166022 0.83706868 12.700195 47.960503
    Oben rechts KachelX + 1 35081 KachelY 22792 0.22175610 0.83706868 12.705689 47.960503
    Unten links KachelX 35080 KachelY + 1 22793 0.22166022 0.83700447 12.700195 47.956824
    Unten rechts KachelX + 1 35081 KachelY + 1 22793 0.22175610 0.83700447 12.705689 47.956824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83706868-0.83700447) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dl = 409.081910000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83706868-0.83700447) × R
    6.4210000000009e-05 × 6371000     		dr = 409.081910000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22166022-0.22175610) × cos(0.83706868) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.669642742354945 × 6371000     		do = 409.052260238864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22166022-0.22175610) × cos(0.83700447) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.669690428674069 × 6371000     		du = 409.081389497477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83706868)-sin(0.83700447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669642742354945-0.669690428674069)×R²
    abs(0.22175610-0.22166022)×4.76863191241073e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.76863191241073e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.76863191241073e-05×40589641000000     		ar = 167341.838092236m²