Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35104 / 22816
↖ ↑ ↗
← N 47.872144°
E 12.832032°		 ← 409.71 m → N 47.872144°
E 12.837524°		 →
↑
409.72 m
↓
↑
409.72 m
↓
N 47.868459°
E 12.832032°		 ← 409.74 m →
167 871 m²		 N 47.868459°
E 12.837524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.535652160644531 y=0.348152160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.535652160644531 × 216)
    floor (0.535652160644531 × 65536)
    floor (35104.5)     		tx = 35104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348152160644531 × 216)
    floor (0.348152160644531 × 65536)
    floor (22816.5)     		ty = 22816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35104 / 22816 ti = "16/35104/22816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35104/22816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35104 ÷ 216
    35104 ÷ 65536     		x = 0.53564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22816 ÷ 216
    22816 ÷ 65536     		y = 0.34814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53564453125 × 2 - 1) × π
    0.0712890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.22396120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34814453125 × 2 - 1) × π
    0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.22396120} λ = 0.22396120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954136050037598))-π/2
    2×atan(2.59642643112413)-π/2
    2×1.20316142951122-π/2
    2.40632285902243-1.57079632675     		φ = 0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.22396120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.832032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35104 KachelY 22816 0.22396120 0.83552653 12.832032 47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 35105 KachelY 22816 0.22405707 0.83552653 12.837524 47.872144
    Unten links KachelX 35104 KachelY + 1 22817 0.22396120 0.83546222 12.832032 47.868459
    Unten rechts KachelX + 1 35105 KachelY + 1 22817 0.22405707 0.83546222 12.837524 47.868459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83552653-0.83546222) × R
    6.43099999999563e-05 × 6371000     		dl = 409.719009999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83552653-0.83546222) × R
    6.43099999999563e-05 × 6371000     		dr = 409.719009999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.22396120-0.22405707) × cos(0.83552653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 409.708663712727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.22396120-0.22405707) × cos(0.83546222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		du = 409.73779469289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83552653)-sin(0.83546222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670834968900734)×R²
    abs(0.22405707-0.22396120)×4.76941117584229e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76941117584229e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76941117584229e-05×40589641000000     		ar = 167871.39590105m²