Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35328 / 18944
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
E 14.062500°		 ← 303.18 m → N 60.239811°
E 14.067993°		 →
↑
303.26 m
↓
↑
303.26 m
↓
N 60.237084°
E 14.062500°		 ← 303.20 m →
91 945 m²		 N 60.237084°
E 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539070129394531 y=0.289070129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539070129394531 × 216)
    floor (0.539070129394531 × 65536)
    floor (35328.5)     		tx = 35328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289070129394531 × 216)
    floor (0.289070129394531 × 65536)
    floor (18944.5)     		ty = 18944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35328 / 18944 ti = "16/35328/18944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35328/18944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35328 ÷ 216
    35328 ÷ 65536     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18944 ÷ 216
    18944 ÷ 65536     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35328 KachelY 18944 0.24543693 1.05138305 14.062500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 35329 KachelY 18944 0.24553280 1.05138305 14.067993 60.239811
    Unten links KachelX 35328 KachelY + 1 18945 0.24543693 1.05133545 14.062500 60.237084
    Unten rechts KachelX + 1 35329 KachelY + 1 18945 0.24553280 1.05133545 14.067993 60.237084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.05133545) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dl = 303.259600000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.05133545) × R
    4.76000000000365e-05 × 6371000     		dr = 303.259600000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(1.05138305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 303.177264536262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(1.05133545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.496412204198747 × 6371000     		du = 303.202503203331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.05133545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.496412204198747)×R²
    abs(0.24553280-0.24543693)×4.13215003782774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13215003782774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13215003782774e-05×40589641000000     		ar = 91945.2429236921m²