Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35839 / 19455
↖ ↑ ↗
← N 58.816586°
E 16.869507°		 ← 316.25 m → N 58.816586°
E 16.875000°		 →
↑
316.26 m
↓
↑
316.26 m
↓
N 58.813742°
E 16.869507°		 ← 316.28 m →
100 021 m²		 N 58.813742°
E 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546867370605469 y=0.296867370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546867370605469 × 216)
    floor (0.546867370605469 × 65536)
    floor (35839.5)     		tx = 35839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296867370605469 × 216)
    floor (0.296867370605469 × 65536)
    floor (19455.5)     		ty = 19455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35839 / 19455 ti = "16/35839/19455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35839/19455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35839 ÷ 216
    35839 ÷ 65536     		x = 0.546859741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19455 ÷ 216
    19455 ÷ 65536     		y = 0.296859741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546859741210938 × 2 - 1) × π
    0.093719482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.29442844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296859741210938 × 2 - 1) × π
    0.406280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27636788928362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29442844} λ = 0.29442844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27636788928362))-π/2
    2×atan(3.58360002702869)-π/2
    2×1.2986697043222-π/2
    2.5973394086444-1.57079632675     		φ = 1.02654308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29442844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.869507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02654308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.816586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35839 KachelY 19455 0.29442844 1.02654308 16.869507 58.816586
    Oben rechts KachelX + 1 35840 KachelY 19455 0.29452431 1.02654308 16.875000 58.816586
    Unten links KachelX 35839 KachelY + 1 19456 0.29442844 1.02649344 16.869507 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 35840 KachelY + 1 19456 0.29452431 1.02649344 16.875000 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02654308-1.02649344) × R
    4.96399999998509e-05 × 6371000     		dl = 316.25643999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02654308-1.02649344) × R
    4.96399999998509e-05 × 6371000     		dr = 316.25643999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29442844-0.29452431) × cos(1.02654308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517779376973288 × 6371000     		do = 316.253311013497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29442844-0.29452431) × cos(1.02649344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 316.279249390298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02654308)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517779376973288-0.517821844059361)×R²
    abs(0.29452431-0.29442844)×4.24670860733611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24670860733611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24670860733611e-05×40589641000000     		ar = 100021.247888559m²