Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38916 / 26628
↖ ↑ ↗
← N 31.933517°
E 33.771973°		 ← 518.35 m → N 31.933517°
E 33.777466°		 →
↑
518.41 m
↓
↑
518.41 m
↓
N 31.928855°
E 33.771973°		 ← 518.38 m →
268 725 m²		 N 31.928855°
E 33.777466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593818664550781 y=0.406318664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593818664550781 × 216)
    floor (0.593818664550781 × 65536)
    floor (38916.5)     		tx = 38916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406318664550781 × 216)
    floor (0.406318664550781 × 65536)
    floor (26628.5)     		ty = 26628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38916 / 26628 ti = "16/38916/26628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38916/26628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38916 ÷ 216
    38916 ÷ 65536     		x = 0.59381103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26628 ÷ 216
    26628 ÷ 65536     		y = 0.40631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59381103515625 × 2 - 1) × π
    0.1876220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58943212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40631103515625 × 2 - 1) × π
    0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58943212} λ = 0.58943212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58866512733429))-π/2
    2×atan(1.80158192710794)-π/2
    2×1.06407066800832-π/2
    2.12814133601663-1.57079632675     		φ = 0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58943212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.771973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38916 KachelY 26628 0.58943212 0.55734501 33.771973 31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 38917 KachelY 26628 0.58952799 0.55734501 33.777466 31.933517
    Unten links KachelX 38916 KachelY + 1 26629 0.58943212 0.55726364 33.771973 31.928855
    Unten rechts KachelX + 1 38917 KachelY + 1 26629 0.58952799 0.55726364 33.777466 31.928855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55734501-0.55726364) × R
    8.13700000000805e-05 × 6371000     		dl = 518.408270000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55734501-0.55726364) × R
    8.13700000000805e-05 × 6371000     		dr = 518.408270000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58943212-0.58952799) × cos(0.55734501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 518.352625322988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58943212-0.58952799) × cos(0.55726364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848705453884366 × 6371000     		du = 518.378911564858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55734501)-sin(0.55726364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848705453884366)×R²
    abs(0.58952799-0.58943212)×4.30366211658928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30366211658928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30366211658928e-05×40589641000000     		ar = 268725.101395144m²