Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3968 / 2431
↖ ↑ ↗
← N 58.836490°
W  5.625000°		 ← 2 528.67 m → N 58.836490°
W  5.581055°		 →
↑
2 529.48 m
↓
↑
2 529.48 m
↓
N 58.813742°
W  5.625000°		 ← 2 530.33 m →
6 398 323 m²		 N 58.813742°
W  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48443603515625 y=0.29681396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48443603515625 × 213)
    floor (0.48443603515625 × 8192)
    floor (3968.5)     		tx = 3968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29681396484375 × 213)
    floor (0.29681396484375 × 8192)
    floor (2431.5)     		ty = 2431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3968 / 2431 ti = "13/3968/2431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3968/2431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3968 ÷ 213
    3968 ÷ 8192     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2431 ÷ 213
    2431 ÷ 8192     		y = 0.2967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2967529296875 × 2 - 1) × π
    0.406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2770390058783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2770390058783))-π/2
    2×atan(3.58600584767831)-π/2
    2×1.29884339961598-π/2
    2.59768679923196-1.57079632675     		φ = 1.02689047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02689047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.836490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3968 KachelY 2431 -0.09817477 1.02689047 -5.625000 58.836490
    Oben rechts KachelX + 1 3969 KachelY 2431 -0.09740778 1.02689047 -5.581055 58.836490
    Unten links KachelX 3968 KachelY + 1 2432 -0.09817477 1.02649344 -5.625000 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 3969 KachelY + 1 2432 -0.09740778 1.02649344 -5.581055 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02689047-1.02649344) × R
    0.00039703000000002 × 6371000     		dl = 2529.47813000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02689047-1.02649344) × R
    0.00039703000000002 × 6371000     		dr = 2529.47813000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09740778) × cos(1.02689047) × R
    0.000766989999999995 × 0.517482148664583 × 6371000     		do = 2528.67304714425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09740778) × cos(1.02649344) × R
    0.000766989999999995 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 2530.33296641148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02689047)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517482148664583-0.517821844059361)×R²
    abs(-0.09740778--0.09817477)×0.000339695394778738×R²
    0.000766989999999995×0.000339695394778738×6371000²
    0.000766989999999995×0.000339695394778738×40589641000000     		ar = 6398322.61945992m²