Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3970 / 2946
↖ ↑ ↗
← N 45.026951°
W  5.537109°		 ← 3 453.65 m → N 45.026951°
W  5.493164°		 →
↑
3 454.61 m
↓
↑
3 454.61 m
↓
N 44.995883°
W  5.537109°		 ← 3 455.52 m →
11 934 244 m²		 N 44.995883°
W  5.493164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48468017578125 y=0.35968017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48468017578125 × 213)
    floor (0.48468017578125 × 8192)
    floor (3970.5)     		tx = 3970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35968017578125 × 213)
    floor (0.35968017578125 × 8192)
    floor (2946.5)     		ty = 2946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3970 / 2946 ti = "13/3970/2946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3970/2946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3970 ÷ 213
    3970 ÷ 8192     		x = 0.484619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2946 ÷ 213
    2946 ÷ 8192     		y = 0.359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.03076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09664079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359619140625 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09664079} λ = -0.09664079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882038953009033))-π/2
    2×atan(2.41582043248794)-π/2
    2×1.17833243215876-π/2
    2.35666486431752-1.57079632675     		φ = 0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09664079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.537109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3970 KachelY 2946 -0.09664079 0.78586854 -5.537109 45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 3971 KachelY 2946 -0.09587380 0.78586854 -5.493164 45.026951
    Unten links KachelX 3970 KachelY + 1 2947 -0.09664079 0.78532630 -5.537109 44.995883
    Unten rechts KachelX + 1 3971 KachelY + 1 2947 -0.09587380 0.78532630 -5.493164 44.995883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78586854-0.78532630) × R
    0.000542239999999916 × 6371000     		dl = 3454.61103999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78586854-0.78532630) × R
    0.000542239999999916 × 6371000     		dr = 3454.61103999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(0.78586854) × R
    0.000766990000000009 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 3453.64688003585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09664079--0.09587380) × cos(0.78532630) × R
    0.000766990000000009 × 0.707157594456286 × 6371000     		du = 3455.52084028322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78586854)-sin(0.78532630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.707157594456286)×R²
    abs(-0.09587380--0.09664079)×0.000383497968001856×R²
    0.000766990000000009×0.000383497968001856×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383497968001856×40589641000000     		ar = 11934243.8343255m²