Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3984 / 2448
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
W  4.921875°		 ← 2 556.99 m → N 58.447733°
W  4.877929°		 →
↑
2 557.83 m
↓
↑
2 557.83 m
↓
N 58.424730°
W  4.921875°		 ← 2 558.66 m →
6 542 470 m²		 N 58.424730°
W  4.877929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48638916015625 y=0.29888916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48638916015625 × 213)
    floor (0.48638916015625 × 8192)
    floor (3984.5)     		tx = 3984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29888916015625 × 213)
    floor (0.29888916015625 × 8192)
    floor (2448.5)     		ty = 2448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3984 / 2448 ti = "13/3984/2448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3984/2448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3984 ÷ 213
    3984 ÷ 8192     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2448 ÷ 213
    2448 ÷ 8192     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3984 KachelY 2448 -0.08590292 1.02010538 -4.921875 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 3985 KachelY 2448 -0.08513593 1.02010538 -4.877929 58.447733
    Unten links KachelX 3984 KachelY + 1 2449 -0.08590292 1.01970390 -4.921875 58.424730
    Unten rechts KachelX + 1 3985 KachelY + 1 2449 -0.08513593 1.01970390 -4.877929 58.424730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.01970390) × R
    0.000401479999999843 × 6371000     		dl = 2557.829079999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.01970390) × R
    0.000401479999999843 × 6371000     		dr = 2557.829079999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(1.02010538) × R
    0.000766989999999995 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 2556.98541144095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08513593) × cos(1.01970390) × R
    0.000766989999999995 × 0.523618237490152 × 6371000     		du = 2558.65700401724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.01970390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.523618237490152)×R²
    abs(-0.08513593--0.08590292)×0.000342084287664246×R²
    0.000766989999999995×0.000342084287664246×6371000²
    0.000766989999999995×0.000342084287664246×40589641000000     		ar = 6542469.55444798m²