Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4232 / 2728
↖ ↑ ↗
← N 51.399206°
E  5.976562°		 ← 3 048.64 m → N 51.399206°
E  6.020508°		 →
↑
3 049.54 m
↓
↑
3 049.54 m
↓
N 51.371780°
E  5.976562°		 ← 3 050.46 m →
9 299 734 m²		 N 51.371780°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51666259765625 y=0.33306884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51666259765625 × 213)
    floor (0.51666259765625 × 8192)
    floor (4232.5)     		tx = 4232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33306884765625 × 213)
    floor (0.33306884765625 × 8192)
    floor (2728.5)     		ty = 2728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4232 / 2728 ti = "13/4232/2728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4232/2728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4232 ÷ 213
    4232 ÷ 8192     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2728 ÷ 213
    2728 ÷ 8192     		y = 0.3330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3330078125 × 2 - 1) × π
    0.333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04924285888379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04924285888379))-π/2
    2×atan(2.85548829179156)-π/2
    2×1.23394084917019-π/2
    2.46788169834038-1.57079632675     		φ = 0.89708537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89708537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.399206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4232 KachelY 2728 0.10431069 0.89708537 5.976562 51.399206
    Oben rechts KachelX + 1 4233 KachelY 2728 0.10507768 0.89708537 6.020508 51.399206
    Unten links KachelX 4232 KachelY + 1 2729 0.10431069 0.89660671 5.976562 51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 4233 KachelY + 1 2729 0.10507768 0.89660671 6.020508 51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89708537-0.89660671) × R
    0.000478659999999964 × 6371000     		dl = 3049.54285999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89708537-0.89660671) × R
    0.000478659999999964 × 6371000     		dr = 3049.54285999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(0.89708537) × R
    0.000766990000000009 × 0.62389043284113 × 6371000     		do = 3048.63641377341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(0.89660671) × R
    0.000766990000000009 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 3050.46399628827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89708537)-sin(0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62389043284113-0.624264439804078)×R²
    abs(0.10507768-0.10431069)×0.000374006962947981×R²
    0.000766990000000009×0.000374006962947981×6371000²
    0.000766990000000009×0.000374006962947981×40589641000000     		ar = 9299734.23152198m²