Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4232 / 2760
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
E  5.976562°		 ← 3 107.31 m → N 50.513427°
E  6.020508°		 →
↑
3 108.22 m
↓
↑
3 108.22 m
↓
N 50.485474°
E  5.976562°		 ← 3 109.15 m →
9 661 056 m²		 N 50.485474°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51666259765625 y=0.33697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51666259765625 × 213)
    floor (0.51666259765625 × 8192)
    floor (4232.5)     		tx = 4232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33697509765625 × 213)
    floor (0.33697509765625 × 8192)
    floor (2760.5)     		ty = 2760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4232 / 2760 ti = "13/4232/2760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4232/2760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4232 ÷ 213
    4232 ÷ 8192     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2760 ÷ 213
    2760 ÷ 8192     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4232 KachelY 2760 0.10431069 0.88162561 5.976562 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 4233 KachelY 2760 0.10507768 0.88162561 6.020508 50.513427
    Unten links KachelX 4232 KachelY + 1 2761 0.10431069 0.88113774 5.976562 50.485474
    Unten rechts KachelX + 1 4233 KachelY + 1 2761 0.10507768 0.88113774 6.020508 50.485474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.88113774) × R
    0.000487869999999946 × 6371000     		dl = 3108.21976999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.88113774) × R
    0.000487869999999946 × 6371000     		dr = 3108.21976999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(0.88162561) × R
    0.000766990000000009 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 3107.30829052254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10507768) × cos(0.88113774) × R
    0.000766990000000009 × 0.636273831554846 × 6371000     		du = 3109.14780849538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.88113774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.636273831554846)×R²
    abs(0.10507768-0.10431069)×0.00037644950349236×R²
    0.000766990000000009×0.00037644950349236×6371000²
    0.000766990000000009×0.00037644950349236×40589641000000     		ar = 9661056.06477765m²