Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4244 / 2748
↖ ↑ ↗
← N 50.847573°
E  6.503906°		 ← 3 085.26 m → N 50.847573°
E  6.547852°		 →
↑
3 086.18 m
↓
↑
3 086.18 m
↓
N 50.819818°
E  6.503906°		 ← 3 087.10 m →
9 524 493 m²		 N 50.819818°
E  6.547852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51812744140625 y=0.33551025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51812744140625 × 213)
    floor (0.51812744140625 × 8192)
    floor (4244.5)     		tx = 4244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33551025390625 × 213)
    floor (0.33551025390625 × 8192)
    floor (2748.5)     		ty = 2748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4244 / 2748 ti = "13/4244/2748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4244/2748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4244 ÷ 213
    4244 ÷ 8192     		x = 0.51806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2748 ÷ 213
    2748 ÷ 8192     		y = 0.33544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51806640625 × 2 - 1) × π
    0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33544921875 × 2 - 1) × π
    0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11351458} λ = 0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03390305100537))-π/2
    2×atan(2.81201990075457)-π/2
    2×1.22912694573276-π/2
    2.45825389146552-1.57079632675     		φ = 0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4244 KachelY 2748 0.11351458 0.88745756 6.503906 50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 4245 KachelY 2748 0.11428157 0.88745756 6.547852 50.847573
    Unten links KachelX 4244 KachelY + 1 2749 0.11351458 0.88697315 6.503906 50.819818
    Unten rechts KachelX + 1 4245 KachelY + 1 2749 0.11428157 0.88697315 6.547852 50.819818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88745756-0.88697315) × R
    0.000484409999999991 × 6371000     		dl = 3086.17610999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88745756-0.88697315) × R
    0.000484409999999991 × 6371000     		dr = 3086.17610999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11351458-0.11428157) × cos(0.88745756) × R
    0.000766989999999995 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 3085.26173470029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11351458-0.11428157) × cos(0.88697315) × R
    0.000766989999999995 × 0.631761219323209 × 6371000     		du = 3087.09695910506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88745756)-sin(0.88697315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.631761219323209)×R²
    abs(0.11428157-0.11351458)×0.000375570843109463×R²
    0.000766989999999995×0.000375570843109463×6371000²
    0.000766989999999995×0.000375570843109463×40589641000000     		ar = 9524493.15783408m²